Признаки делимости.
Рассмотрим признак делимости на 10:
для того чтобы некоторое натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра этого числа была равна нулю.
Это признак делимости на 10. Например, число 257630 делится на 10, а число 38461 не делится. Хорошо известны также признаки делимости на 2 и на 5:
для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была чётной;
для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была 0 или 5.
Похожим образом формулируются признаки делимости на 100, на 4, на 25. Несколько менее известны признаки делимости на 3 и на 9:
для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3;
для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Заметим ещё, что иногда признак делимости можно получить проще. Пусть, например, нужно определить, делится ли некоторое число на 15. Если число делится на 15, то оно делится на 3 и на 5. Наоборот, если число делится на 3 и на 5 оно делится на 15. Значит,
для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулём или пятёркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Аналогично
для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была чётной и, кроме того сумма его цифр делилась на 3.
Таким же способом можно получить признаки делимости на 18, 45 и другие числа.
Рассмотрим еще один способ доказательства признака делимости на 9.
Пусть данное число - трехзначное:
100а+10в+с.
Имеем: . Представим данное число в виде: .
Каждое слагаемое делится на 9, то и данное число делится на
К множеству целых чисел относятся все положительные или отрицательные числа, не являющиеся дробями, и нуль. Множество целых неотрицательных чисел обладает рядом свойств: упорядоченное и бесконечное.
Докажем, что множество целых неотрицательных чисел может быть упорядочено при помощи отношения «меньше». Для этого покажем, что это отношение транзитивно и антисимметрично, причём будем исходить из определения отношения «меньше» через сумму.
Теорема 1: если, а<в и в<с, то, а<с.
Теорема 2: если а<в, то неверно, что в<а.
Если по двум данным числам определяется третье число, удовлетворяющее некоторым условиям, то этот процесс в математике называют действием. В арифметике рассматривают следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление и называют арифметическими действиями.
Сложение.
Сложением натуральных чисел называют арифметическое действие, при помощи которого узнают число, содержащее столько единиц, сколько их есть в данных числах вместе.
Числа, которые нужно сложить, называют слагаемыми, а результат сложения называют суммой.
Сложение натуральных чисел всегда возможно и однозначно, т.е. какие бы числа в качестве слагаемых ни брали, всегда можно найти их сумму и эта сумма должна быть для каждых данных чисел одна и та же.
Вычитание.
Вычитанием называется действие, посредством которого по данной сумме и одному данному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Вычитание называют действием, обратным сложению. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым. Число, которое вычитают, вычитаемым.
Умножение.
Умножением натуральных чисел называется действие, состоящее в нахождении суммы одинаковых слагаемых. Число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым, число, показывающее, сколько берется таких одинаковых слагаемых, – множителем, а число, полученное в результате умножения – произведением.
Деление.
Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителем и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель.
Число, которое делят, называется делимым, число на которое делят, - делителем; число, которое получается в результате деления, называется частным. Деление называется действием обратным умножению.
Достарыңызбен бөлісу: |
