Аксиоматика натурального числа
В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.
Аксиома 1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей.
Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.
Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N, обладает свойствами:
1)единица принадлежит множеству М;
2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, то М совпадает со множеством N.
Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.
Определение. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающим свойствами:
1) (a ∈ N) a + 1 = a',
2) (a, b ∈ N) a + b'=(a+b)'.
Число a+b называется суммой чисел a и b, а сами числа a и b
слагаемыми.
Условимся о следующих обозначениях:
1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5 и т.д.
Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно
Теорема 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(а + b) + с = a + (b + c)
Теорема 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b' = a·b + a.
Число a·b называется произведением чисел a и b, а сами числа a и b - множителями
Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.
Теорема 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b)·c = ac + b·c - дистрибутивность справа относительно сложения.
Теорема 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) а·(b + c) = + a·c - дистрибутивность слева относительно сложения.
Теорема 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a·b) ·c = a·(b·с) - ассоциативность умножения.
Теорема 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - коммутативность умножения
Определение 1 Натуральное число p называется простым, если p>1 и p не имеет натуральных делителей, отличных от 1 и p
Определение 2 Натуральное число n>1 называется составным, если n имеет по крайней мере один натуральный делитель, отличный от 1 и n
Примеры 2, 3, 5, 7 – простые числа 6, 8, 10, 15 – составные
Если n – составное число, то из определения следует, что оно имеет натуральный делитель, отличный от 1 и n
Пусть это a (аϵN, a≠1, a≠n)
Тогда n=ab, bϵN, b≠1, b≠n
Так как 1
Итак, если n – составное число, то существуют a,b ϵN, n=ab, 1Свойства простых чисел
Если натуральное число n>1, то наименьший натуральный делитель его, отличный от 1, - простое число
Если a – целое, p – простое, то a⁞p или (a, p)=1
3. (основное свойство простых чисел)
Если произведение целых чисел ab делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на р
Теорема (основная теорема арифметики)
Любое натуральное число, большее 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём единственным образом с точностью до порядка сомножителей
Определение 1. Число d называется общим делителем чисел a1, a2,…, an, если a1⁞d, a2⁞d,…, an⁞d
Определение 2. Наибольшим общим делителем целых чисел a1, a2,…, an называется такой их общий натуральный делитель, который делится на любой их общих делитель
Обозначают: d=(a1, a2,…, an)
Определение 3. Число М называется общим кратным целых чисел a1, a2,…, an, если оно делится на каждое из этих чисел
Определение 4. Наименьшим общим кратным целых чисел a1, a2,…, an называется такое их общее натуральное кратное m, которое делит любое их общее кратное
Обозначают: m=[a1, a2,…, an]
Лемма
Если a, b ϵ Z, b≠0 и a=bq+r, то (a,b)=(b,r)
Алгоритм Евклида
Пусть a, b ϵ Z, b≠0. По теореме о делении с остатком
a=bq1+r1, где 0 ≤ r1 < │b│. Если r1≠0, то
b=r1q2+r2, где 0 ≤ r2 < r1. Если r2≠0, то
r1=r2q3+r3, где 0 ≤ r3 < r2. И так далее
…………......
rn-2=rn-1qn+rn, где 0 < rn < rn-1
rn-1=rn qn+1+rn+1
Этот процесс не может быть бесконечным, так как не может быть бесконечной убывающей последовательности неотрицательных чисел:
│b│> r1 > r2 >…> rn , rn+1 ϵ [0, │b│]
Поэтому после нескольких шагов получим остаток, равный нулю
Пусть rn+1=0
Теорема
Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида, применённый к целым числам a и b, где b≠0, есть их наибольший общий делитель (НОД)
Из теоремы следует существование НОД двух чисел, если хотя бы одно из них не равно нулю
Свойства НОД
Если a⁞b, то (a, b) = │b│
Если (a, b) = d, то существуют u, v ϵ Z, что d=au+bv (линейная форма НОД)
3) Если (a, b)=d, n ϵ N, то (na, nb)=nd
4) Если (a, b)=d, a⁞n, b⁞n, n ϵ N, то
5) (a1, a2, …, an) = ((a1, a2, …, an-1), an)
Теорема. Для любых двух натуральных чисел , произведение их наибольшего общего делителя на их наименьшее общее кратное равно произведению самих чисел
.
Следствие 1.Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел , можно находить по формуле:
Следствие 2 . Пусть и - два натуральных числа и - их наименьшее общее кратное. Натуральное число в том и только в том случае является общим кратным чисел и , если оно является кратным числа .
Натуральное число называется чётным, если среди его простых множителей есть число 2, и нечетным, если среди его простых множителей число 2 отсутствует.
Достарыңызбен бөлісу: |
