Формулаларды гипотезалардан қорытып шығару

2.7 Формулаларды гипотезалардан қорытып шығару

Формулалардың Н={А₁,А₂,…,А_n} ақырлы жиынын қарастырамыз.

1) A_iH формуласы Н-тан шығарылатын формула деп аталады.

2) Әрбір дәлелденетін формула Н-тан шығарылатын болады.

3) Егер С және С→В формулалар Н-тан шығарылатын болса, онда В формуласы да Н-тан шығарылатын болады.

Егер кейбір В формуласы формулалардың Н жиынынан шығарылатын болса, онда бұл былай жазылады: Н├В.

Н жиыны бос немесе тек дәлелденетін формулалардан тұратын жағдайда Н жиынынан шығарылатын формулалардың класы дәлелденетін формулалардың класымен сәйкес келеді.

Егер де Н жиынында кем дегенде бір дәлелденбейтін формула болса, онда Н-тан шығарылатын формулардың класы дәлелденетін формулалар класынан кең болады.

Мысал.

Формулалардың Н={А, В} жиынынан формуласы шығатынын дәлелдеу керек.

AH және BH болғандықтан, дәлелденетін формуланың анықтамасы бойынша

Н├А, (1)

Н├В. (2)

және аксиомаларды алып, және алмастыруларды орындаймыз.

Нәтижесінде Н-тан шығарылатын дәлелденетін формулаларды аламыз, яғни

Н├(А→А)→((А→В)→(А )), (3)

Н├В→(А→В), (4)

А→А формуласы дәлелденетін, онда Н├А→А. (5)

(5) және (3) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша Н├(А→В)→(А )) (6)

алынады.

(2) және (4) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша:

Н├А→В . (7)

(7) және (6) формулалардан қорытындылау ережесі бойынша: Н├А . (8)

Соңында (1) және (8) формулалардан

Н├ (9)

алынады.

Формуланың шығарылатынын дәлелдеуде тек қана қорытындылау ережесін емес, күрделі қорытындылау ережесін пайдалануға мүмкін екендігі түсінікті. Онда бұл ережені пайдаланып, (9) тұжырымды (5), (7), (1) және (3) тұжырымдардан алуға болады.

1) ол Н жиынының бір формуласы болады,

2) ол дәлелденетін формула болады,

3) ол В₁,В₂,…,В_к тізбегінің алдынғы кез келген екі мүшесінен қорытындылау ережесі бойынша шығады.

Алдынғы мысалда көрсеткеніміздей, формулалардың Н={А,В} жиынынан шығаруы формулалардың келесі ақырлы тізбегі болады:

А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), (А→В), А→А, (А→В)→(А )), А→В, А , . (1,2,3,7,5,6,8 формулалар).

Егер күрделі қорытындылау ережесін пайдалансақ, онда шығаруды былай жазуға болады:

А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), В→(А→В), А→А, А→В, . (5, 7, 1, 3 формулалар).

Шығарылатын формула анықтамасынан және формулалар жиынынан шығару анықтамасынан шығарудың келесі қасиеттері келіп шығады:

1) Н жиынынан шығарудың әрбір бастапқы кесіндісі – Н-тан шығару болады.

2) Егер Н тан шығарудың екі көршілес мүшелерінің арасында (басында немесе соңында) кейбір Н тан шығаруді қойсақ, онда формулалардың алынған жаңа тізбегі Н тан шығару болады.

3) Н жиынынан шығарудың әрбір мүшесі Н тан шығарылатын формула болады. Н тан кез келген шығару оның соңғы формуласының шығаруы болады.

4) Егер болса, онда Н тан кез келген шығару W дан шығару болады.

5) В формуласы Н жиынынан шығарылатын болуы үшін бұл формуланың Н тан шығаруы бар болуы қажетті және жеткілікті.