экономикадағы математика ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ

1.

2.

3. (мұндағы С=сonst), y^’=Cu

4.

5.

6.

7.

а) егер m=-1 болса,

б) егер m= болса,

8. ,

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Алматы, 2021.

СӨЖ № 1

Тақырыбы: «Сызықтық алгебра элементтері»

Квадраттық матрицалардың анықтауышы. Анықтауыштың қасиеттері.Крамер формулалары.

Матрицаларға қолданылатын амалдар. Матрица рангісі. Кері матрица.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі. Жордан-Гаусс әдісі.

а) ; ә ) .

2. A= , B= матрицалары берілген. AB және BA матрицаларын табу керек.

3.Теңдеулер жүйесін шешіңіз: а) Крамер формулаларымен; ә) матрицалық әдіспен

а) ; ә)

4. Теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен шешіңіз

СӨЖ негізгі 4 тапсырмадан тұрады. Әрбір студент өзінің сынақ кітапшасының нөмірінің соңғы үш цифры бойынша параметрлерінің орнына қойып, есептерді шешеді. Мысалы соңғы үш цифры 576 болса, онда немесе оқытушы әрбір студентке үш таңбалы сан береді.

Типтік нұсқа

1. Анықтауышты а) үшбұрыш ережесімен; ә) ретін төмендету әдісімен есептеңіз :

2. , матрицалары берілген. ABжәнеBA матрицаларын табу керек.

3. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: а) Крамер формулаларымен; ә) матрицалық әдіспен

а) б)

4. Теңдеулер жүйесін Жордан-Гаусс әдісімен шешіңіз

а)

1-ші есептің шешімі. а) Үшбұрыш ережесінқолданамыз

Сонда

ә) Анықтауыштың 1-ші бағанында нөлдер алайық. Ол үшін 1-ші жатық жол элементтерін 2-ші жатық жолдың сәйкес элементтерімен қосамыз. Одан кейін 1-ші жатық жолды 2-ге көбейтіп, 3-ші жатық жолға қосамыз

2-ші есептің шешімі. AB және BA көбейтінді матрицалардың өлшемдерін табайық:

3-ші есептің шешімі. а) Жүйенің Δ бас анықтауышын есептейік :

Δ≠0 болғандықтан жүйенің жалғыз ғана шешімі бар. Δ анықтауышындағы 1-ші, 2-ші, 3-ші бағандарды сәйкес бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда шыққан Δ₁, Δ₂ , Δ₃анықтауыштарын есептейміз:

Крамер формулалары бойынша табамыз

Сонымен, (−1; 6;−2) − жүйенің жалғыз шешімі.

A матрицасының анықтауышын есептейміз:

демек , кері матрица табылады.

Aматрицасының элементтері үшін алгебралық толықтауыштарды табамыз:

1) 1-ші жатық жол үшін ( матрицасының 1-ші бағаны):

2) 2-ші жатық жол үшін ( матрицасының 2-ші бағаны):

3) 3-ші жатық жол үшін ( матрицасының 3-ші бағаны):

Кері матрицаны жазамыз: .

Сонымен , (2;−2; 1) − жүйе шешімі.

Есептің шешімі. а) Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамызжәне оның жатық жолдарына элементарлық түрлендірулерді орындаймыз .

Тура жүріс жасаймыз. айнымалысын 1-ші теңдеуден басқа теңдеулерден жоямыз. Ол үшін 1-ші жатық жолды (−1)-ге көбейтіп, 2-ші жатық жолға қосамыз ; одан кейін 1-ші жатық жолды (−2)-ге көбейтіп, 3-ші жатық жолға қосамыз. Аламыз

Тура жүріс аяқталды. , . болғандықтан теңдеулер жүйесі үйлесімді . Матрица рангісі айнымалылардың санына тең, сондықтан жүйенің жалғыз шешімі бар . 3-ші жатық жолды мүшелеп 2-ге бөлеміз .

Кері жүріс орындаймыз. айнымалысын 3-ші теңдеуден басқа теңдеулерден жоямыз. Ол үшін 3-ші жатық жолды (−3)-ке және (-2)-ге көбейтіп, сәйкес 2-ші және 1-ші жатық жолға қосамыз. Сонда

~

2-ші жатық жолды (−1)-ге көбейтіп, 1-ші жатық жолға қосамыз; нәтижесінде айнымалысын 1-ші теңдеуден жоямыз.

~ .

Соңғы матрицадан , , екенін аламыз.

Кері жүрісті басқаша да орындауға болады. Тура жүріс жасағандағы алынған соңғы кеңейтілген матрицадан теңдеулер жүйесін төмендегідей түрде жазамыз :

~

3-ші теңдеуден -ті табамыз; оны 2-ші теңдеуге қойып, -ні табамыз.

Сонымен , (1; 4;−1) – теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі.

Өзін-өзі бақылауға сұрақтар

1. 
   2-ші, 3-ші ретті анықтауыштар дегеніміз не?
   
2. 
   Қандай шарттарда анықтауыш нөлге тең?
   
3. 
   Қандай түрлендірулер анықтауыштың шамасын өзгертпейді?
   
4. 
   Анықтауыштың элементінің миноры, алгебралық толықтауышы дегеніміз не ?
   
5. 
   n-ші ретті анықтауыш дегеніміз не?
   
6. 
   Матрицаларға амалдар қалай орындалады?
   
7. 
   Қандай шарт орындалғанда екі матрицаны қосуға, көбейтуге болады?
   
8. 
   Қандай матрица кері деп аталады? Кері матрицаны қалай табамыз? Кері матрицаның дұрыс табылғанын қалай тексереміз?
   
9. 
   Қандай теңдеулер жүйесі үйлесімді, үйлесімсіз , анықталған, анықталмаған деп аталады ?
   
10. 
    Матрицаның рангісі дегеніміз не? Ол қалай есептелінеді ? Матрицаны элементарлық түрлендірулерді атаңыз .
    

Бақылау нысаны: студент өз нұсқасының есептерін түсінікті түрде шығарып, оқытушыға тексеруге уақытында тапсырып, одан кейін қорғау керек. Өзін-өзі бақылауға берілген сұрақтарға жауап беру керек.

Тапсырманы орындауды бағалау баллы: 20

СӨЖ тапсырмасын орындау мерзімі: 4-ші апта

Ұсынылатын әдебиеттер тізімі

1.Қазешов А., Нұрпейсов С. Экономистерге арналған математика

Экономика ,2008ж

2. Математикапрактикумы− Алматы: ҚазЭУ, 2009.

3. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998г.
3. СӨЖ тапсырмасын рәсімдеуге қойылатын талаптар: тапсырмадағы есептер үш параметрмен берілген. Тапсырма алдында параметрлерге қойылатын талап берілген. Әрбір студент өз нұсқасын орындау керек. Егер де басқа біреудің нұсқасы болса, есептелінбейді. Нөл қойылады. Тапсырманы уақытында тапсыру керек, кешіктірген жағдайда 5 балл шегеріледі. Сол сияқты қорғаған кезде ауызша сұрақтарға жауап беру керек.
1. СӨЖ № 2.

СӨЖ тақырыбы: «Жазықтықтағы түзу сызықтың теңдеулері»

Жазықтықтағы түзу сызықтың теңдеуі.

Түзулердің параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Түзуден жазықтыққа дейінгі арақашықтық .

СӨЖ № 2 үшін есептер

АВС үшбұрышының төбелері берілген: . Табу керек:

1) AB қабырғасының теңдеуін; 2) AК медианасының теңдеуін; 3) CD биіктігінің теңдеуін; 4) CD биіктігінің ұзындығын; 5) D нүктесінің координаталарын; 6) АВ қабырғасына параллель жүргізілген үшбүрыштың орта сызығының теңдеуін.

Типтік нұсқа

АВС үшбұрышының төбелері берілген: А(–5;4), В(4;1), С(2;5).

Табу керек: 1) AB қабырғасының теңдеуін; 2) AК медианасының теңдеуін; 3) CD биіктігінің теңдеуін; 4) CD биіктігінің ұзындығын; 5) D нүктесінің координаталарын;

6) АВ қабырғасына параллель жүргізілген үшбүрыштың орта сызығының теңдеуін. (Сызбасын декарттық координаталар жүйесінде сызу керек).
Типтік нұсқаны шығару үшін әдістемелік нұсқау

1) AB қабырғасының теңдеуін

формуласы бойынша табамыз.

Сонда

,

бұдан . Сонымен .

2) К нүктесінің координаталарын анықтаймыз:

, , яғни К(3; 3).

AК медианасының теңдеуін құрамыз:

3) CD биіктігінің теңдеуін түзулердің перпендикулярлық шартын қолданып табамыз. AB түзуінің бұрыштық коэффициенті , демек, CD биіктігінің бұрыштық коэффициенті =3.

4) CD биіктігінің ұзындығы С нүктесінен АВ түзуіне дейінгі арақашықтыққа тең :

5) D нүктесінің координаталарын табу үшінABжәнеCD түзулерінің қиылысу нүктесін табамыз. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:

Екінші теңдеуді 3-ке көбейтіп, бірінші теңдеумен қосамыз :

Сонымен, D(1; 2).

6) АВ қабырғасына параллель жүргізілген үшбүрыштың орта сызығының теңдеуін табу үшін орта сызықтың анықтамасын қолданамыз. Үшбұрыштың орта сызығы қабырғаларының ортасы арқылы өтеді. Сондықтан АС және ВС қабырғаларының орта нүктесін табамыз.

К нүктесінің координаталарын анықтаймыз:

Р нүктесінің координаталарын анықтаймыз:

Екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуін қолданамыз:

Басқа әдіспен де табуға болады. Орта сызық үшінші қабырғаға параллель,

түзулердің параллелдік шартын қолданамыз: . Бұл жағдайда бір қабырғаның орта нүктесін тапсақ жеткілікті, мысалы К нүктесін. Сонда

, , .

Өзін-өзі бақылауға сұрақтар.

1. 
   Вектор дегеніміз не? Қандай векторлар коллинеарлы, компланарлы, тең,қарама-қарсы деп аталады?
   
2. 
   Координаттық түрде берілген векторлармен амалдар қалай орындалады?
   
3. 
   Вектордың ұзындығы қандай формуламен табылады?
   
4. 
   Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі дегеніміз нежәне қандай қасиеттері бар?
   
5. 
   Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің координаттық түрде жазылуы.Екі вектордың арасындағы бұрышты қалай есептейді?
   
6. 
   Екі вектордың коллинеарлық және перпендикулярлық шарты.
   
7. 
   Бұрыштық коэффициент дегеніміз не? Жалпы теңдеумен берілген түзудің бұрыштық коэффициенті қалай табылады ?
   
8. 
   Түзудің барлық теңдеулерін жазыңыз.
   
9. 
   Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық қалай табылады?
   
10. 
    Екі түзудің параллельдік және перпендикулярлық шартын жазыңыз.
    

Бақылау нысаны: студент өз нұсқасының есептерін түсінікті түрде шығарып, оқытушыға тексеруге уақытында тапсырып, одан кейін қорғау керек. Өзін-өзі бақылауға берілген сұрақтарға жауап беру керек.

Тапсырманы орындауды бағалау баллы: 20

СӨЖ тапсырмасын орындау мерзімі: 6-шы апта

Ұсынылатын әдебиеттер тізімі

1.Қазешов А., Нұрпейсов С. Экономистерге арналған математика Экономика ,2008ж

2. Математикапрактикумы− Алматы: ҚазЭУ, 2009.

3. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998г.

1. СӨЖ № 3

СӨЖ тақырыбы: «Интегралдық есептеулер»
2. СӨЖ тапсырма мазмұны.

Алғашқы функция . Анықталмаған интеграл. Интегралдаудың негізгі әдістері.

Анықталған интеграл интеграл. Фигура ауданы .

Меншіксіз интегралдар.

1-4. Интегралдарды табыңыз:

1. 2. 3. 4.

5-9. Интегралдарды есептеңіз:

5. . 6. . 7. . 8. . 9. .

10. сызықтарымен шектелген фигура ауданын табыңыз.

11. Меншіксіз интегралды есептеңіз (немесе оның жинақсыздығын дәлелдеңіз):
Өздік жұмыстың мақсаты: Студентке бір айнымалы функциясының интегралдық есептеулерін үйрету. Анықталмаған интегралдарды, анықталған интегралдың қолданыстарын және меншіксіз интегралдарды есептеуді меңгергенін тексеру және алған білімін бекіту.
Тапсырманы орындау бойынша әдістемелік нұсқау

Типтік нұсқа

1-4. Интегралдарды табыңыз:

1. 2. 3. 4.

5-9. Интегралдарды есептеңіз:

5. . 6. . 7. . 8. . 9. .

10. сызықтарымен шектелген фигура ауданын табыңыз.

11. Меншіксіз интегралды есептеңіз (немесе оның жинақсыздығын дәлелдеңіз):

Алдыңғы екі интегралды табу үшін тікелей интегралдауды яғни интегралдау ережелерін және интегралдар кестесін қолданамыз.Үшінші интегралды айнымалыны ауыстыру әдісімен анықтаймыз . Төртінші интегралды бөліктеп интегралдау әдісімен табамыз

1. .

2. .

3. .

4. .

Анықталған интегралдарды Ньютон-Лейбниц формуласымен және интегралдың негізгі қасиетін қолданып, табамыз

5. .

6.

7.

8. .

9. Бұл есепте ауыстыруын қолданамыз және интегралдаудың жаңа интегралдау шектерін есептейміз:


=

= .

10.

.

Инеграл таңбасының астындағы функцияны табайық : .

11.Шектері шексіздікке тең болғандағы меншіксіз интегралды табу ережесін қолданамыз :

1. 
   Алғашқы функция, анықталмаған интегралдың анықтамасын беріңіз.
   
2. 
   Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін айтыңыз.
   
3. 
   Интегралдаудың негізгі формулаларын жазыңыз.
   
4. 
   Тікелей интегралдау әдісін қалай қолданамыз ?
   
5. 
   Айнымалыны ауыстыру әдісін қалай қолданамыз ?
   
6. 
   Бөліктеп интегралдау әдісін қалай қолданамыз
   
7. 
   Ньютон-Лейбниц формуласын жазыңыз.
   
8. 
   Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы не?
   
9. 
   Анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін айтыңыз.
   
10. 
    Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру және бөліктеп интегралдау қалай орындалады ?
    

Бақылау нысаны: студент өз нұсқасының есептерін түсінікті түрде шығарып, оқытушыға тексеруге уақытында тапсырып, одан кейін қорғау керек. Өзін-өзі бақылауға берілген сұрақтарға жауап беру керек.

Тапсырманы орындауды бағалау баллы: 20

СӨЖ тапсырмасын орындау мерзімі: 11-ші апта

Ұсынылатын әдебиеттер тізімі

1.Қазешов А., Нұрпейсов С. Экономистерге арналған математика. - Экономика ,2008ж

2. Математикапрактикумы− Алматы: ҚазЭУ, 2009.

3. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998г.

Тақырыбы . Ықтималдықтар теориясының негізгі теоремалары.

Кездейсоқ шамалар
2. СӨЖ тапсырма мазмұны

Ықтималдық анықтамасы.Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары.

Бернулли формуласы.Биномиальдық үлестірімділік.Қалыпты үлестірімділік.
СӨЖ негізгі 4 тапсырмадан тұрады. Әрбір студент өзінің сынақ кітапшасының нөмірінің соңғы үш цифры бойынша параметрлерінің орнына қойып, есептерді шешеді. Мысалы соңғы үш цифры 576 болса, онда немесе оқытушы әрбір студентке үш таңбалы сан береді.
СӨЖ № 4 үшін есептер

1. Топта a +5 студент бар. Олардың бесеуі қыздар. Кездейсоқ таңдалған 4 студенттің 2-і

қыз болу ықтималдығы қандай?

2. Екі студент математикадан емтихан тапсырды. Бірінші студенттің еитиханды тапсыру

ықтималдығы 0,в , екінші студенттің еитиханды тапсыру ықтималдығы 0,с . Екеуі бір уақытта емтихан тапсырғанда а) тек біреуінің тапсыру;

ә) кем дегенде біреуінің емтиханды тапсыру ықтималдығын табыңыз.

екеуінің; екеуден аз емес студенттің оқу үздігі болуының ықтималдығын табыңыз.

4. Ойын сүйегі 1аврет тасталды. Үш ұпайының 20+с-дан 27+с-ға дейін рет түсу

ықтималдығын табыңыз.

5. Бөлшектің диаметрі қалыпты заңмен үлестірілген кездейсоқ шама . Параметрлері a=60мм,

σ=с мм. Кездейсоқ таңдалған бөлшектің диаметр: а) 50 мм-ден 50+с мм-ге дейін; ә) 50+а мм-ден аз; б) 58 мм-ден үлкен; в) математикалық күтімнен модулы бойынша в мм-ден үлкен емес болуының ықтималдығын табыңыз .

Типтік нұсқа

1. Лотереяда 10 билет бар. Олардың үшеуі ұтыспен.Кездейсоқ алынған 5 билеттің 2 билетінің ұтыспен болу ықтималдығы қандай?

2. Нысананы дәлдеп екі атқыш атты. Бір атқанда бірінші атқыштың нысанаға тию ықтималдығы 0,7, екінші үшін 0,8. Екеуі бір уақытта атқанда а) тек біреуінің тию;

ә) кем дегенде біреуінің нысанаға тию ықтималдығын табыңыз.

3. Дәннің өніп шығу ықтималдығы 0,6. Егілген 8 дәннің үшеуінің; үшеуден аз емес дәннің өніп шығу ықтималдығын табыңыз.

4. Ойын сүйегі 144 рет тасталды. Алты ұпайының 20-дан 25-ке дейін рет түсу ықтималдығын табыңыз.

5. Бөлшектің диаметрі қалыпты заңмен үлестірілген кездейсоқ шама . Параметрлері a=50мм, σ=4мм. Кездейсоқ таңдалған бөлшектің диаметр: а) 54 мм-ден 58 мм-ге дейін; ә) 52 мм-ден аз; б) 56мм-ден үлкен; в) математикалық күтімнен модулы бойынша 3мм-ден үлкен емес болуының ықтималдығын табыңыз .

1-ші есепті шешу. Сынақтың барлық мүмкін санын табамыз , яғни 10-нан 5 билетті таңдау әдістерінің саны:

3 билеттен 2 ұтыс билетін таңдау тәсілінің санын анықтаймыз:

7 билеттен 3 ұтпайтын билетті таңдау тәсілінің санын анықтаймыз:

Сынақ нәтижелеріне қолайлы оқиғалар санын көбейту ережесі бойынша табамыз: .

A оқиғасының ықтималдығын есептейміз:

2-ші есептің шешімі.Оқиғаларды белгілейміз: бірінші атқыш нысанаға тиді;

Оқиғалардың ықтималдықтарын жазамыз:

а) Оқиға B – нысанаға тек бір атқыш тиді– төмендегідей өрнектеледі: , бұл бірінші атқыштың тигізуі және екінші атқыштың тигізе алмауы немесе біріншінің тигізе алмауы және екіншінің тигізуі.

Қосылғыштардың үйлесімсіз оқиғалар және көбейткіштердің тәуелсіз екенін ескергенде аламыз

= 0,7·0,2+0,3·0,8=0,38.

ә) C оқиғасының ықтималдығын табамыз:

а) Үш дәннің өніп шығуының ықтималдығын табайық.

Бернулли формуласын қолданып, табамыз: .

ә) A оқиғасының үштен аз емес пайда болуының ықтималдығын табамыз. Үйлесімсіз оқиғаларды қосу теоремасы бойынша

Сонымен, .

Шарт бойынша, n=144, p=P(A)= , q= , , .

Қажетті есептеулерді орындаймыз :

; ;

(2) формула бойынша x₁және x₂ мәндерін есептейміз:

Лапластың интегралдық формуласын қолданамыз:

=0,0871+0,3133=0,4004.

Кездейсоқ шаманың берілген аралыққа түсу ықтималдығы

Берілген ауытқу ықтималдығы

ә) .

б) .

в) (2) формула бойынша ықтималдықты есептейміз:

Өзін-өзі бақылауға сұрақтар

1.Кездейсоқ оқиғалардың түрлері.

2. Ықтималдық, шартты ықтималдықтың анықтамасы.

3. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының айтылуы және жазылуы.

4.Қайталанбалы тәуелсіз сынақтар. Бернулли формуласын жазыңыз. Мысалдар.

5.Кездейсоқ шамалар және олардың түрлері, үлестірім заңдары.

6.Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары:математикалық үміті, дисперсиясы, моменттері, модасы, медианасы, квантильдерінің формуласын жазыңыз және мағыналары.

7.Биномдық үлестірім заңы. Сандық сипаттамалары.

8.Пуассон үлестірім заңы. Сандық сипаттамалары.

9.Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары:бірқалыпты, көрсеткіштік және қалыпты үлестірім заңдары.Олардың үлестірім функциясы және сандық сипаттамалары.

10.Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың анықтамасы. Кездейсоқ шамалардың берілген аралықтан мән қабылдау ықтималдығын есептеу формуласы.

Тапсырманы орындауды бағалау баллы: 20

СӨЖ тапсырмасын орындау мерзімі: 13-ші апта

Ұсынылатын әдебиеттер тізімі

1.Қазешев А.К. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Алматы: Принт, 2009. -225бет.

2. Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер жинағы. Алматы: РБК, 2005.

3. Шумаева О.В., Жанасбаева Ұ.Б. Математикадан тестілік тапсырмалар. Алматы. 2009.

-74б.

1. 
   СӨЖ тапсырмасын рәсімдеуге қойылатын талаптар: тапсырмадағы есептер үш параметрмен берілген. Тапсырма алдында параметрлерге қойылатын талап берілген. Әрбір студент өз нұсқасын орындау керек. Егер де басқа біреудің нұсқасы болса, есептелінбейді. Нөл қойылады. Тапсырманы уақытында тапсыру керек, кешіктірген жағдайда 5 балл шегеріледі. Сол сияқты қорғаған кезде ауызша сұрақтарға жауап беру керек.