161
Сонымен, егер массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты анықталған
инерция моменті белгілі болса, онда оған параллель кез келген басқа өске
қатысты инерция моментін есептеп шығаруға болады. Мысалы, жіңішке
шыбықтың (массасы
, ұзындығы )
өсіне (өс шыбыққа перпендикуляр
жəне оның ұшы арқылы өтетін) қатысты инерция моменті келесі теңдеумен
анықталады:
1
12
1
2
1
3
.
Қатты дененің айналмалы динамикалық теңдеуі (айналыс өсі
қозғалмайды). Бұл теңдеуді (5.27) уақыт бойынша дифференциалдап, (5.15)
теңдеудің салдары ретінде жеңіл алуға болады:
,
(5.30)
мұндағы,
барлық сыртқы күштердің айналыс өсіне қатысты қосынды
моменті. Олай болса, қатты дененің айналыс кезінде инерция моменті оның
инерциялық қасиеттерін анықтайды: күш моментінің бір ғана
мəні кезінде
инерция моменті үлкенірек дене аз
бұрыштық үдеуді алады.
Айта кету керек, өске қатысты анықталатын күш
моменттері алгебралық шамалар болып табылады: олардың
таңбалары
өсінің (айналыс өсімен бірдей түсетін) оң
бағытын таңдап алуға да, сəйкес күш моментінің айналу
бағытына да тəуелді болады. Мысалы, 5.16-суретте
көрсетілгендей
өсінің оң бағытын таңдап алып, осылайша
біз
бұрышын (бұл екі бағытта та оң бұранда ережесімен
байланысты) есептеудің оң бағытын көрсетеміз.
Егер қайсыбір
моменті
бұрышың оң бағытында бұрылатын
болса, онда бұл момент оң деп саналады жəне керісінше. Ал қорытынды
моментінің таңбасы
бұрыштық үдеудің
өсіне проекциясының
таңбасын анықтайды.
Бастапқы шарттарды – бастапқы уақыт мезетінде
жəне
мəндерін
ескере отырып, (5.30) теңдеуді интегралдап, қатты дененің қозғалмайтын
өстен айналу мəселесін толық шешуге, яғни бұрыштық жылдамдықтың
жəне бұрылу бұрышының
уақытқа тəуелділіктерін табуға мүмкіндік
туады.
(5.30) теңдеуін айналыс өсінің берік байланысқан кез келген санақ
жүйесінде де орындалатындығын айта кету керек. Бірақ егер санақ жүйесі
инерциялық болмаса, онда
күш моменті тек басқа денелермен өзара
5.16-сурет
162
əрекеттес күштерінің моменттерін ғана емес, сонымен қатар инерция күштері
моменттерін де өзіне қосып алады.
Айналыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы (айналу өсі
қозғалмайды). Айналыстағы қатты дененің і-ші бөлшегінің жылдамдығының
болатындығын ескеріп, жазамыз:
/2
/2 ,
немесе қысқартсақ,
,
(5.31)
мұндағы, – дененің айналыс өсіне қатысты анықталған импульс моменті,
– оның бұрыштық жылдамдығы.
Мысал. 1-ші диск тегіс вектор өстен
бұрыштық жылдамдықпен айналып тұрған. Оған
бұрыштық жылдамдығымен айналатын 2-ші диск келіп
құлайды. Арасындағы үйкелістің салдарынан екі диск қайсыбір
уақыттан кейін біртұтас түрде айнала бастайды. Егер
дискілердің айналыс өсіне қатысты импульс моментітері
жəне
болса, осы жүйенің айналмалы қозғалысының
кинетикалық энергияның өсімшесін табу керек.
Шығару жолы. Əуелі қалыптасқан айналыстың бұрыштық
жылдамдығын табамыз. Жүйенің - өсіне қатысты импульс
моментінің сақталу заңынан
екендігі шығады, осыдан
.
(1)
,
жəне
алгебралық шамалар. Егер,
0 болса, онда сəйкес
вектордың − өсінің оң бағытымен бағыттас жəне керісінше болғаны.
Осы жүйенің айналмалы қозғалысының кинетикалық энергияның өсімшесі:
∆
1
2
1
2
.
шамасын оның (1) өрнегімен алмастырамыз, сонда:
∆
.
(2)
Минус таңбасы кинетикалық энергияның кемігенін көрсетеді.
Алынған (1) жəне (2) нəтижелер өздерінің түрі мен мағынасы жағынан да абсолют
серпімсіз соқтығысу жағдайымен бірдей екендігі көрінеді.
Қатты дененің қозғалмайтын өстен айналуы кезіндегі сыртқы
күштердің жұмысы. (4.49) теңдеуіне сай қатты денеге əсер ететін барлық
5.17-сурет
163
сыртқы күштердің элементар жұмысы тек кинетикалық энергияның
өсімшесіне ғана тең болады, себебі оның өзінің меншікті потенциалдық
энергиясы осы кезде өзгеріссіз қалады. Сонымен
. (5.31) бойынша
/2 . Осы өрнекті үшін соңғы теңдеуге қойып жəне
екендігін ескеріп, жазамыз:
.
Алайда (5.30)-ға сəйкес
d болады. Осы шыққан өрнекті
соңғы теңдеуге қойып жəне
болатынын еске алып,
табамыз:
.
(5.32)
жұмыс алгебралық шама: егер
жəне
шамаларының таңбалары
бірдей болса, онда
0; егер де олардың таңбалары қарама-қарсы болса,
онда
0.
Қатты дене шектік бұрышқа бұрылу кезіндегі сыртқы күштердің
атқаратын жұмысы:
.
(5.33)
, болатын жағдайда, соңғы өрнек ықшамдалады:
.
Сонымен, қатты дененің қозғалмайтын өстен айналу кезіндегі сыртқы
күштердің атқаратын жұмысы өске қатысты анықталған осы күштердің
моментінің əсерімен анықталады. Егер бұл күштер моменттері
0 болса,
онда олар жұмыс атқармайды.
2. Қатты дененің жазық қозғалысы
Жазық қозғалыс кезінде қатты дененің С инерция центрі берілген К−
санақ жүйесінде тыныштықта болатын белгілі жазықтықта қозғалады, ал
оның бұрыштық жылдамдығының
векторы үнемі осы жазықтыққа
перпендикуляр болып қалады. Ц-жүйедегі қатты дене өзінің инерция центрі
арқылы өтетін жəне оған қатысты тыныштықта болатын өстен таза
айналмалы қозғалыс жасайды. Ал қатты дененің айналмалы қозғалысы болса,
ол (5.30) теңдеуімен анықталады, ал ол кез келген санақ жүйесінде де
орындалады.
Сонымен, бізде қатты дененің жазық қозғалысын сипаттайтын мынадай
екі теңдеу бар:
;
,
(5.34)
Достарыңызбен бөлісу: |
