Законы 10-е издание москва

146 
 
2)  егер  бөлшекке  əсер  ететін  күштің  берілген  О  нүктеге  қатысты  күш 
моментінің  (осы  О  нүктеге  қатысты)  t  уақытқа  тəуелділігі  белгілі  болса, 
бөлшектің  О  нүктеге  қатысты  импульс  моментінің  кез  келген  уақыты 
аралығы үшін өсімшесін анықтау 
 
. 
Бірінші  мəселенің  шешімі  импульс  моментінен  уақыт  бойынша 
туындыны 
d /d   -ны  табуға  тіреледі,  яғни (5.5) бойынша  іздеп  отырған  N 
күш моментіне тең болады. 
Екінші  мəселенің  шешімі (5.5) теңдеуді  интегралдауға  əкеледі.  Осы 
теңдеудің  екі  жағын  да  dt  деп  аламыз – бұл  өрнек 
d
d    вектордың 
элементар  өсімшесін  анықтайды.  Осы  өрнекті  уақыт  бойынша  интегралдап, 
M вектордың шектеулі  -уақыт аралығындағы өсімшесін табамыз: 
Nd . 
 
 
 
(5.6) 
Бұл  теңдеудің  оң  жағында  тұрған  шаманы  күш  моментінің  импульсы 
деп  атайды.  Сонымен,  бөлшектің  импульс  моментінің  кез  келген  уақыт 
аралығындағы  өсімшесі  күш  моментінің  осы  уақыт  аралығындағы 
импульсына тең болады. Мысалдар келтірейік. 
1-мысал. Бөлшектің қайсыбір  нүктеге қатысты импульс моменті 
уақыт  бойынша   
  заңымен  өзгереді, 
мұндағы   жəне   – қандай да бір тұрақты векторлар, 
əрі 
.  М  жəне  N  векторларының  арасындағы 
бұрыш 
45   болатын  кезде  бөлшекке  əсер  ететін 
күштің N моментін табу керек. 
Шығару  жолы. (5.5) бойынша, 
d /d
2 , 
яғни   - вектор  үнемі  бағыты  жағынан    вектормен 
бірдей. 
  жəне   
  векторларды  қайсыбір  уақыт 
аралығында өрнектейік (5.6-сурет). Oсы суреттен, 
, ал  уақытта бұрыш 
-   болады. Осыдан, 
/  жəне 
2
/ · . 
2-мысал.  Массасы    болатын    тасты    бастапқы  жылдамдықпен  горизонтқа  бұрыш 
жасай лақтырады. Ауаның кедергісін ескермей 
тастың  О  лақтыру  нүктесіне  қатысты  импульс 
моментінің - 
  уақытқа  тəуелділігін  табу 
керек (5.7-сурет). 
Шығару  жолы. dt уақыт аралығында тастың 
О  нүктеге  қатысты  импульс  моменті 
d
d
, g d  өсімше aлады. 
g /2 
болатындықтан, 
d
, g d  болады. Осы 
өрнекті 
 
0 уақытта 
0
0 болатындығын  ескере  отырып,  интегралдап, 
, g
/2табамыз.  Осыдан  -вектордың  бағыты  қозғалыс  кезінде 
өзгеріссіз қалады (  вектор жазықтықтан əрі қарай бағытталған (5.7-сурет). 
5.6-сурет 
5.7-сурет 

147 
 
Өске қатысты импульс моменті мен күш моменті 
Таңдап  алынған  санақ  жүйесінде  кез  келген  қозғалмайтын    өсін 
аламыз.    өсіндегі  кез  келген  бір  О  нүктеге  қатысты  А  бөлшектің  импульс 
моменті  , ал бөлшекке əсер ететін күш моментті   
болсын. 
Берілген  өстің  кез  келген  О  нүктесіне  қатысты 
анықталған 
  векторының  осы  өске  проекциясы   
өсіне  қатысты  анықталған  импульс  моменті  деп 
аталады (5.8-сурет).  Тура  осындай  жолмен  өске 
қатысты  күш  моментідеген  түсінік  те  енгізіледі. 
Оларды  сəйкес  түрде 
  жəне 
  шамалары  деп 
белгілейді жəне олар   өсінде О нүктесін таңдап алуға еш тəуелсіз болады. 
Осы 
шамалардың 
қасиеттерін 
анықтайық. (5.5)-ті 
 
өсіне 
проекцияласақ, онда  
 
/
, 
 
 
 
 
(5.7) 
 
яғни,  бөлшектің    өсіне  қатысты  импульс  моментінің  уақыт  бойынша 
туындысы  осы  өске  қатысты  анықталған  күш  моментіне  тең.  Егер 
0 
болса, онда 
. Басқаша айтқанда, егер қандай да бір қозғалмайтын 
  өсіне  қатысты  күш  моменті  нөлге  тең  болса,  онда  бөлшектің  осы  өске 
қатысты импульс моменті тұрақты болып қалады. Осы кезде   вектордың өзі 
де өзгеруі мүмкін. 
Mысал.  Жіпке  ілінген  массасы 
кішкене  дене 
g−  ауырлық 
күшінің  жəне  жіп  тарапынан  болатын    керілу  күшінің 
əсерінен  горизонталь  шеңбер  бойымен  бірқалыпты 
қозғалады (5.9-сурет).  О  нүктесіне  қатысты  дененің 
импульс  моменті  −
    векторы –    өспен  жəне  жіппен  бір 
жазықтықта  орналасқан.  Дененің  қозғалысы  кезінде 
−вектор ауырлық күшінің 
моментінің əсерінен үнемі 
бұрылып  отырады,  яғни  өзгереді  деген  сөз.  Осы  кезде 
 
проекциясы  тұрақты  болып  қалады.  Себебі,    вектор   
өсіне перпендикуляр жəне 
0.  
 
Енді 
  жəне 
  шамаларының  математикалық  (аналитикалық) 
өрнектерін табайық. Ол үшін 
·
 жəне 
·  векторлық көбейтінділерінің 
 өсіне проекциясын табу керек. Бұл үшін  
5.8-сурет 
5.9-сурет 

148 
 
  бөлшекті  сəйкес  координаттардың  өсу  жағына  қарай 
бағытталған 
,
,
  орттармен  нық  байланыстырып, 
, ,   цилиндрлік координат жүйесін пайдаланамыз (5.10-
сурет).  Бұл  координат  жүйесінде  бөлшектің    радиус-
векторы жəне   импульсы келесі түрде жазылады: 
ρ
 ,
, 
мұндағы, 
,
,
 – вектордың  сəйкес  орттарға 
проекциялары. 
·
  векторлық  көбейтіндіні  анықтауыш 
түрінде жазуға болатыны векторлық алгебрадан белгілі: 
·
ρ
0
, 
Осыдан бөлшектің импульс моментінің Z өске қатысты проекциясы: 
ρ ,    
 
 
 
        (5.8) 
мұндағы,  − бөлшектің   өсіне дейінгі қашықтығы. Бұл өрнекті ыңғайлырақ 
түрге келтірейік. 
ρ
ρ ,  екендігін ескерсек  
ρ
, 
 
 
 
          (5.9) 
мұндағы, 
–  бөлшектің  радиус-векторы  бұрылатын 
  -бұрыштық 
жылдамдықтың проекциясы. 
(5.8) тəрізді   өсіне қатысты күш моменті де жазылады: 
ρ ·
 
 
 
 
            (5.10) 
− мұндағы   күш векторының 
 ортқа проекциясы. 
 жəне 
 проекциялары шындығында   өсіндегі О нүктені таңдауға 
тəуелсіз болады.   жəне   векторлары   өсіне қатысты анықталғанын ескеру 
керек. Сонымен қатар, 
 жəне 
 алгебралық шамалар, олардың таңбалары 
 жəне   проекцияларының таңбаларына сəйкес. 
 
§ 5.2. Импульс моментінің сақталу заңы  
Бөлшектердің кез келген бір жүйесін алайық. Берілген жүйенің импульс 
моментін  оны  құрайтын  жеке  бөлшектердің  импульс  моменттерінің 
векторлық қосындысы түрінде қасарстырайық: 
∑
 , 
    
  
 
(5.11) 
5.10-сурет