73
Инерция центрінің қозғалыс теңдеуі
Инерция цeнтрi түсінігін (3.4) теңдеуге қолданған кезде көбірек тиімді
болатын басқа түр беруге мүмкіндік туады.
Бұл үшін (3.10) -ды (3.4)−ке қойып, жүйе массасының тұрақты шама
екендігін ескерсек болғаны. Сонда:
сырт
(3.11)
мұндағы,
сырт
− жүйеге əсер өтетін барлық сыртқы күштердің
қорытындысы. Бұл – жүйенің инерция центрінің қозғалыс теңдеуі –
механиканың ең маңызды теңдеулерінің бipi болып табылады. Осы теңдеуге
сай, бөлшектердің кез келген жүйесінің козғалысы кезінде оның инерция
центрі жүйенің барлық массасы осы нүктеде шоғырланған жəне жүйеге
түсірілген барлық сыртқы күштер осы нүктеге түсірілгендей қозғалады.
Осы кезде инерция центрінің үдеуі сыртқы күштердің түсу нүктелеріне
eшбip тəуелсіз.
Одан əpi (3.11)-ден егер
сырт
0 болса, онда d /d
0, демек
. Жеке алғанда тұйықталған жүйе осындай жағдайға жатады
(инерциялық санақ жүйесінде). Сонымен қатар, егер
болса, онда
(3.10) бойынша жүйенің импульсі
болады.
Сонымен, егер жүйенің инерция центрі бірқалыпты жəне
түзусызықты қозғалатын болса, онда оның импульсы қозғалыс кезінде
сақталады. Kepi тоқтам да орынды.
(3.11)
теңдеу
өзінің
сырт
көрінісімен
материалдық
нүкте
динамикасының негізгі теңдеуіне сəйкес жəне ол бөлшектер жүйесі үшін
табиғи жалпылама болып табылады: жүйенің тұтастай алғандағы үдеуі
барлық сыртқы күштердің қорытындысына тура пропорционал жəне жүйенің
қосынды массасына кepi пропорционал. Инерциялық емeс санақ жүйeлepiндe
барлық сыртқы күштердің қорытындысынақоршаған денелермен өзара
əрекеттeсу күштерінің де, инерция күштерінің де кіретіндігін eске сала кету
керек. Инерция центрінің қозғалысына бірнеше мысалдар келтірейік.
1-мысал. Инерция центрі түсінігін пайдалана отырып, сал үстіндегі адамның қозғалысын
қалай шешуге болатынын қарастырайық (73 беттегі 2 мысал).
Судың кедергіcін елемеуге болады. Адам - сал жүйесіне əсер ететін барлық
күштердің қорытындысы нөлге тең. Бұл адамның (жəне салдың) қозғалысы
кезінде жүйенің инерция центрі өзгермейді дегенді білдіреді, яғни
const.
74
мұндағы,
жəне – адам мен салдың инерция центрлерінің жағынан қандай
да бір нүктесіне қатысты орындарын сипаттайтын радиус-векторлар. Бұл
теңдеуден
жəне векторлар өсімшелерінің арасындағы байланысты
табамыз:
∆
∆
0.
∆ жəне ∆ өсімшелері дегеніміз адам мен салдың жағаға қатысты орын
ауыстырулары, əpi
∆
∆
∆ екендігін ескере отырып, салдың орын
ауыстыруын табамыз:
∆
∆ .
2-мысал. Адам мұнарадан суға секіреді. Секірушінің қозғалысы жалпы алғанда өте
күрделі сипатта болады. Бірақ ауаның кедергісін ескермесек, онда секірушінің
инерция центрі
тұрақты күш əсер ететін материалдық нүктенің қозғалысы
тəрізді парабола бойымен қозғалады, мұндағы - адамның массасы.
3-мысал. Центрден тепкіш машинаның өсі мен бip шетінен жіппен байланып,тұйықталған
шынжыр вертикаль өстен бірқалыпты
– бұрыштық жылдамдықпен айналады
(3.5-сурет). Осы кезде жіп вертикал өспен бұрыш жасайды. Шынжырдың
инерция центрі қалай қозғалады?
Шығару жолы.Бірқалыпты айналыс кезінде инерция
центрі вертикаль бағытта қозғалмайтындығы белгілі.
Яғни бұл жіптің Т керілу күші вертикаль
құраушысының
ауырлық
күшін
теңгеретіндігін
көрсетеді (3.5-сурет оң жақта). Керілу күшінің
горизонталь құраушысы модулі бойынша тұрақты
жəне үнемі айналыс өсіне қарай бағытталған.
Шынжырдың инерция центрі − С нүктесі −
горизонталь шеңбердің бойымен қозғалады, оның
радиусын (3.11) формуланың көмегімен табамыз:
ω ρ
g g .
мұндағы, m – шынжырдың массасы. С нүкте суретте көрсеткендей, айналыс
өсімен жіптің арасында орналасқан.
Ц-жүйе
Практикада жиі кездесетін жүйе ішіндегі тек жүйе бөлшектерінің
салыстырмалы қозғалыстары қажет болса, онда жүйенің тұтастай түрдегі
қозғалысы қарастырылмайды, мұндай жағдайда ең тиімдісі инерция
центрінің тыныштығын камтамасыз ететін санақ жүйесін пайдалану.
Құбылыстарды талдағанда жəне есептеулер жасағанда осындай жол көп
жеңілдік береді.
3.5-сурет
75
Бөлшектердің берілген жүйесінің инерция центрімен берік байланысқан
жəне инерциялық санақ жүйелеріне қатысты ілгерiлемелі қозғалыста
болатын санақ жүйесін инерция центрінің санақ жүйесі немесе Ц-жүйе деп
атайды. Ц-жүйенің негізгі ерекшелігі − онда бөлшектер жүйесінің толық
импульсы нөлге тең − бұл тікелей (3.10) формуласынан шығады:
0.
Басқаша айтқанда, бөлшектердің кез келген жүйесі тұтастай алғанда өзінің
Ц-жүйесінде тыныштықта болады.
Бөлшектердің тұйықталған жүйелері үшін − жүйе инерциялық, ал
тұйықталмаған жүйелері үшін, жалпы алғанда инерциялық емес болып
саналады.
Физикада Ц-жүйенің мəні зор. Көптеген жағдайларды түсіндіру үшін
осы Ц-жүйенің артықшылықтары сөзсіз пайдалы. Бөлшектердің соқтығысу
теориясын жəне қатты заттардың динамикасын қарастырған кезде осы Ц-
жүйенің маңызының зор екені көрінеді, сондықтан бұл сұраққа əлі талай
қайтып ораламыз.
Екі бөлшектен тұратын жүйе. Бөлшектердің массалары
жəне
.
Ал олардың К санақ жүйесіндегі жылдамдықтары – мен . Ц-жүйедегі
осы бөлшектердің импульстерін анықтайық.
Ц-жүйесіне жататын барлық шамалардың төбесіне тильда ( ) белгісін
қойамыз. Cонда іздеп отырған импульстерді келесі түрде жазуға болады:
,
.
мұндағы,
– К- санақ жүйеге қатысты Ц-жүйесінің жылдамдығы, яғни
инерциялық санақ жүйелерінің бip-бipінe қатысты салыстырмалы
жылдамдығы. Осы формулаларға
-нің мəндерін қойғаннан кейін өрнек
келесі түрге өзгереді:
,
, (3.12)
Ц-жүйеде екі бөлшектің де импульстері өздерінің импульстері бойынша
бірдей жəне бағыттары бойынша қарама-қарсы:
. Осындай
қорытындының
шыққаны
дұрыс,
себебі
Ц-жүйедегі
бөлшектер
импульстерінің сомасы əр уақытта нөлге тең болатыны анық.
Осылай алынған нəтижелер тұйықталған жəне тұйықталмаған
жүйелерді бірдей қанағаттандыра алады, сонымен қатар бөлшектер
арасындағы өзара əрекеттесулерге де тəуелсіз болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
