13
ақырғы орнына жүргізілген
∆
орын ауыстыру векторы дегеніміз радиус-
вектордың Δt уақыттағы өсімшесі болып табылады.
, Δr/Δt
қатынасы Δt уақыт аралығындағы жылдамдықтың орташа векторы <v> деп
аталады. <r> векторының бағыты Δr векторының бағытымен бірдей болады.
Нүктенің берілген уақыттағы v жылдамдық векторы Δt→0 кездегі Δr/Δt
қатынасының шегі ретінде анықталады, яғни
lim
∆
∆
∆
(1.1)
Бұл v жылдамдық векторы берілген уақыттағы r радиус-вектордың
уақыт бойынша туындысына тең жəне осы нүктедегі траекторияға
жанаманың бойымен А дененің қозғалыс бағытында дегенді білдіреді (dr
вектордың бағытында). Вектордың модулі v келесі өрнекпен сипатталады
υ
| |
|d /d |,
Нүкте қозғалысы, сонымен қатар үдеумен де сипатталады. үдеу
векторы нүктенің жылдамдық векторының уақыт бойынша өзгерісі:
d /d ,
(1.2)
яғни, ол жылдамдық векторының уақыт бойынша туындысына немесе r
радиус-вектордың уақыт бойынша екінші туындысына тең. вектордың
бағыты dv вектордың (dv − v вектордың dt уақыт аралығындағы өсімшесі)
бағытымен бірдей түседі. v вектордың модулі вектордың модулі тəрізді
анықталады.
Мысал. Нүктенің радиус-векторы t уақытқа келесі заңдылықпен бағынады:
/2,
мұндағы A жəне B — тұрақты векторлар. Нүктенің v мен үдеуін табайық:
,
const.
Жылдамдық векторының модулі:
υ
√
√
2
.
Сонымен, r(t) тəуелділігі белгілі болса, əрбір уақыт мезгілі үшін
нүктенің v жылдамдығы мен a үдеуін табуға болады.
Керісінше, үдеудің уақытқа тəуелділігін біле отырып, v(t) мен r(t)
шамаларын табуға бола ма екен?
*
Жалпы жағдай үшін |
d |
d , мұндағы
радиус-векторының модулі,
/ . Мысалы,
егер тек белгілі бір бағыт бойынша өзгерсе нүкте шеңбер бойымен айналғанда
,
0, бірақ |d |
0 емес.
14
Бұл мəселенің бірмəнді шешуін табу үшін тек қана v(t) тəуелділігін алу
жеткіліксіз. Сонымен қатар тағы да қалыпты шарттарды да, дəлірек айтсақ
нүктенің бастапқы t = 0 уақытындағы v
0
мен r
0
радиус-векторын білу қажет.
Ол үшін қозғалыс кезінде үдеу a=const болып қалатын қарапайым жағдайды
қарастырайық.
Əуелі нүктенің v(t) жылдамдығын анықтайық. Сондықтан (1.2) өрнегі
бойынша жылдамдықтың dt уақыт аралығындағы өсімшесі тең болады:
dv = a
·dt. Осы өрнекті уақыт бойынша t = 0 ден t-ға дейін интегралдап,
жылдамдық векторының осы уақыт аралығындағы өсімшесін табамыз:
∆
d
.
Бірақ Δv – дегеніміз іздеп отырған v жылдамдық емес. v жылдамдығын
табу үшін бастапқы уақыттағы v
0
жылдамдықты білу қажет. Сонда v = v
0
+ Δv
немесе
v = v
0
+ at.
r (t) радиус-вектор мəселесі де тура осылай шешіледі. (1.1) өрнегі
бойынша радиус-вектордың dt уақыт аралығындағы қарапайым өсімшесі dr =
v
·dt болады. Осы өрнекті табылған v(t) тəуелділіктің көмегімен
интегралдап, t = 0 ден t-ға дейінгі уақыт аралығындағы радиус-вектордың
өсімшесін табамыз :
∆
d
/2.
r(t) радиус-вектордың өзін табу үшін тағы да бастапқы уақыттағы
нүктенің r
0
орнын білуіміз керек. Сонда r = r
0
+
∆r, немесе
/2.
Мысал ретінде бастапқы жылдамдығы
–ге тең белгілі бір бұрыш арқылы
горизонтқа
лақтырылған
тастың
қозғалысын қарастырайық. Егер де тасты
а=g тұрақты үдеумен қозғалады деп алатын
болсақ, онда оның лақтыру нүктесіне
қатынасты (r
0
= 0) орны келесі радиус-
векторы өрнегімен анықталады:
/ ,
яғни, бұл жағдай үшін r дегеніміз 1.2-суретте көрсеткендей екі вектордың
қосындысы болып табылады.
Олай болса нүктенің қозғалысы жайлы мəселені толық шешу үшін, яғни
оның v жылдамдығын жəне r қалпын уақытқа тəуелді етіп анықтау үшін, a(t)
1.2-сурет
15
шамасын білу жеткіліксіз, сонымен қатар нүктенің бастапқы уақытындағы v
0
жылдамдығы мен r
0
орнын, яғни материалдық нүктенің бастапқы қозғалыс
шарттарын білу қажет.
СИ жүйесінде ұзындық, жылдамдық пен үдеудің өлшем бірліктері метр
(м), метрдің секундқа (м/с) жəне метрдің секунд квадратының
қатынасымен (м/с
2
) беріледі.
Координаттық тəсіл
Сызба геометриядан жəне математикадан белгілі болған нəрсе, ол
қозғалып келе жатқан А нүктенің кез келген уақыттағы алатын орнын
(көлбеулік, немесе сызықтық) х, у, z – декарт координаттары арқылы анықтау
мүмкіндігі.
Координат
жүйесін
таңдау
кезінде
мəселені
жеңіл
шешу
мүмкіндіктеріне
назар
аударылады,
яғни
есептің
сипаты
мен
симметрияларын таңдап алу жолдары құрастырылады. Координат жүйесі
ретінде декарт координаттары алынады.
Қарастырылып отырған материалдық нүктенің t уақытында
координаттар басына О қатысты орнын сипаттайтын r (t) радиус-вектордың
Х, У, Z өстеріндегі проекцияларын жазайық:
;
;
.
Бұл теңдеулер нүктенің қозғалыс заңын анықтайды.
Шынында да (1.1) мен (1.2) өрнектерді X өсіне проекциялап,
жылдамдық пен үдеу векторларының осы өстегі проекцияларының
формулаларын аламыз:
d /d ,
(1.3)
мұндағы dx – dr орын ауыстыру векторының Х-өсіне проекциясы;
,
(1.4)
мұндағы, d
x
жылдамдықтың dv өсімшесі векторының Х өсіне проекциясы.
Сəйкес векторлардың y жəне х өстеріндегі проекциялары үшін де тура
осындай қатынастар табылады. Формуладан жылдамдық пен үдеу
векторларының проекциялары координаттардың уақыт бойынша алынған
бірінші жəне екінші туындыларына сəйкес тең болатыны көрініп тұр.
Сөйтіп, нүкте қозғалғанда x(t), y(t), z(t) координаттар уақыт өтуімен
өзгереді, яғни олар уақыттың бір мəнді функциясы болып анықталады. Бізге
осы өрнектер белгілі болса, онда нүктенің кеңістіктегі алған орнын, оның
Достарыңызбен бөлісу: |
