Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям

2. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятие поля направлений. Изоклины. Определение интегральной кривой. Определение существования задачи Коши. Теорема Пеано (формулировка). Единственность решения задачи Коши. Теорема Коши-Пикара (формулиров-ка).

3. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение точки единственности и неединственности решения задачи Коши. Область единственности. Определение частного и особого решений. Где могут располагаться особые решения? Определение общего решения, интеграла и общего интеграла. Свойства интеграла.

4. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение продолжения решения вправо (влево). Теорема о продолжимос-ти. Понятия полного решения и максимального интервала существования ре-шения. Чем отличается максимально возможный промежуток решения ОДУ от максимального интервала существования решения уравнения?

5. ОДУ с разделяющимися переменными и приводимые к ним линейной заменой. Метод нахождения общего и особых решений.

6. Однородные ОДУ и приводимые к ним переносом начала координат. Метод нахождения общего и особых решений. Обобщенные однородные ОДУ.

7. Линейные ОДУ с непрерывными на интервале коэффициентами. Нахождение области единственности и общего решения. Выяснить возмож-ность существования особых решений. Уравнения Бернулли и Риккати. Метод нахождения общего и особых решений.

8. ОДУ в полных дифференциалах. Теорема о необходимом и доста-точном условии существования уравнения в полных дифференциалах. Решение задачи Кощи.

9. Понятие интегрирующего множителя. Уравнение интегрирующего множителя. Нахождение интегрирующего множителя в простейших случаях.

10. Теорема о существовании интегрирующего множителя. Какая связь существует между двумя интегрирующими множителями одного и того же уравнения?

11. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций с метрикой представляет собой полное мет-

рическое пространство.

12. Сжимающий оператор и его непрерывность. Теорема о существова-нии неподвижной точки. Оценка погрешности.

13. Основное доказательство теоремы Коши-Пикара.

14. Огибающая семества интегральных кривых. Теорема о связи огиба-ющей с особой интегральной кривой. Теорема о необходимом условии сущес-твования огибающей у семейства гладких кривых , где - па- раметр, а функция дифференцируема по

15. Определение - дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является огибающей? Привести примеры. Достаточные усло- вия существования огибающей семейства гладких кривых где - параметр, а функция дифференцируема по

16. ОДУ первого порядка, не разрешенные относительно производной. Определение решения в явном, неявном и параметрическом видах. Постанов-ка задачи Коши для таких уравнений. Точки единственности и неединствен- ности. Теорема Коши-Пикара для таких уравнений.

17. Нахождение общего и особых решений уравнений и Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

18. Нахождение общего и особых решений уравнений и Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

19. Нахождение общего и особых решений уравнений Лагранжа и Клеро. Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

20. ОДУ высших порядков, разрешенные относительно старшей производной. Определение решения. Задача Коши и теорема Коши-Пикара для таких уравнений. Определение общего решения.

21. ОДУ высших порядков, не разрешенные относительно старшей производной. Определение решения. Задача Коши и теорема Коши-Пикара для таких уравнений. Различные случаи понижения порядка уравнения.

22. ЛОДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффици-ентами. Определение решения. Постановка задачи Коши и теорема Коши-Пи-кара для таких уравнений. Выяснить возможность существования особых ре-шений.

23. Определения линейной зависимости и линейной независимости сис-темы функций, определенных на интервале Доказать, что системы функций