Векторлық әдісті есептерді шығаруға қолдану

Есеп Егер болса, онда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер. Дәлелдеуі

жүктеу 1,22 Mb.

бет	11/16
Дата	24.04.2023
өлшемі	1,22 Mb.
	#42297

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16

vektorly-ds (2)

2.2 Алгебралық есептерді шешуде геометриялық әдісті пайдалану
Теорема: Үшбұрыштың орта сызығы үшбұрыштың табанына параллель және оның жартысына тең. Берілгені
Есептеңіз

Есеп Егер болса, онда теңсіздігінің орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі: Түбірлер астындағы өрнектерді теріс емес деп қабылдап, және векторларын енгіземіз.
Сонда және
болып, берілген теңсіздік келесі ақиқат векторлық теңсіздік түріне келді. Ендеше берілген теңсіздік ақиқат.
2.2 Алгебралық есептерді шешуде геометриялық әдісті пайдалану

Вектор геометрияда көптеп қолданылады. Вектор ұғымының геометрияда қолданылуы кейбір күрделі геометриялық ұғымдарды ықшамды айтуға, геометриялық есептерді шығарудың ерекше бір әдісін табуға мүмкіндік берді. Векторлық әдістің геометрияда қолданылуын екі топқа бөлуге болады. 1) Векторлық амалдарды оқып-үйрену барысында геометриялық фигуралардың және оның қасиеттерін колдана отырып шығарылатын есептер. 2) Геометрияда вектор әдісмен теоремаларды дәлелдеу.

Мысалы, векторлық әдіспен үшбұрыштың орта сызығы туралы теораманы дәлелдеуге болады.

Теорема: Үшбұрыштың орта сызығы үшбұрыштың табанына параллель және оның жартысына тең.
Берілгені: АВС, МК орта сызығы. Дәлелдеу керек:

Дәлелдеуі: 1) АВ=с, ВС=а, АС=b
Вектордың қосындысының анықтамасы бойынша:
М және К нүктелері АВС-ның АВ және ВС қабырғаларының ортасы.

онда

Теорема дәлелденді.

Есептеңіз: arctg2+arctg3+arctg1=?
Анықтама: arctg а (арктангенс а) — бұл тангенстің интервалында анықталатын а ға тең болатын ерекше түрі.
Шешуі: Осы анықтаманы негізге ала отырып, arctg х = π/4 ескереміз.
Сонымен arctg2 дегеніміз не? Ол үшін бізге arctg х функциясының артықшылықтарын, яғни оның мәндер жиынын білуіміз керек. Осы арқылы біз ункция графигін еш қиындықсыз сыза аламыз.

y

0 x

3-cурет. arctg х фунциясы

Бұл тангенстің (-π/2:π/2) интервалында 2 - ге тең болатын мәні болып саналады. Аналогиялық тұрғыда сонымен біргe arctg3-те солай.

1 х

4-cурет. arctg х фунциясының графикалық интерпретациясы

Графикалық интерпретацияны қолданайық (4-сурет). Суретте көрсетілгендей, arctg2 = x₁,arctg3 = x₂ болады. Бұл жерден ұққанымыз,х₁ және х₂ иррационал сандар, бұнымен қоса оларды тек қана жуықталған мәнде ғана ала аламыз. 6 суретте көрініп тұрғандай, arctg2= α, а аrctg3 = β. Бірауыздан айтарымыз бұл жерден есептің нақты мәнін анықтау мүмкін емес.
Геометриялық түрлендірулерді есеп шығаруға қолдану берілген есептің шешу жолын анағұрлым жеңілдетеді.
Мынадай бұрыштарды тұрғызайық: arctg3 =  arctg2 = (5-сурет).

С
B

M A N
5- cурет. Үшбұрыш

Онда arctg1=<ВАС, мұнда <ВАС – теңбүйірлі тікбұрышты ABC үшбұрышының тік бұрышы.
Мұнда   (ВС = АС=√5, АВ = √lO ,ал Пифагор теоремасына қарама қарсы теоремасы бойынша, АВ² = АС²+ВС²,сәйкесінше <ВСА = 90°, а <ВАС = 45°).
Олай болса, arctg2 + arctg3 + arctg1 =<ВАМ + <ВАС +  =  = π.
Жауабы : π

жүктеу 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16