Республикалыќ

1. 
   х²-у²-х+у=10 теңдеуін натурал сандар жиынында шешіңдер.
   

2. Табандары АD және ВС болатын ABCD трапециясы берілген. О нүктесі трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі. АOD үшбұрышының ауданы S₁, ВОС үшбұрышының ауданы S₂ болса, трапецияның ауданын табыңдар.

3. 1999⁶ санының ондық жазылуында кемінде үш бірдей цифр болатынын дәлелдеңдер.

1. Решить уравнение х²-у²-х+у=10 в натуральных числах.

2. В трапеции ABCD AD и ВС – основания. О- точка пересечения диагоналей. Известно, что S_AOD=S₁, S_BOC =S₂. Найти площадь трапеции.

3. Доказать, что десятичная запись числа 1999⁶ содержит по крайней мере три одинаковые цифры.

1. 
   а+b+с =0 және а⁴+b⁴ +с⁴=50 шарттарын қанағаттандыратын а,b,с нақты сандары
   

2. 
   Тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер гипотенузаны х және у-ке тең кесінділерге бөледі. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.
   

3. 
   Оң а,b және с сандары үшін ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) +ca(c+a-2b) 0 теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
   

1. 
   Пусть а, b, с - действительные числа такие, что а+b+с=0 и а⁴+b⁴ +с⁴=50. Определите аb + bс + сb.
   

2. 
   Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные х и у. Определите площадь треугольника.
   

3. 
   Доказать, что при положительных а,b и с справедливо неравенство:
   

1. 
   а+b+с =0 және а⁴+b⁴ +с⁴=50 шарттарын қанағаттандыратын а,b,с нақты сандары
   

2. 
   Үшбұрыштың үш биіктігі О нүктесінде қиылысады. О нүктесінде бір биіктік тең екі бөлікке бөлінеді, екіншісі төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөлінеді. Үшінші биіктік қалай бөлінеді?
   

3. 
   Сандардың екі тізбегі берілген. х₀ ; х₁ ; х₂ ; ... ;х_n , ... , у ₀;у₁;у₂; ... ; у _n; ... Мына шарт орындалады х_n+1 =2x_n + y_n , y_n+1 =2y_n + x_n , х₀ =1, y₀=0 .Осы тізбектің x_n және у_n жалпы мүшелерін табыңдар
   

1. 
   Пусть а, b, с - действительные числа такие, что а+b+с=0 и а⁴+b⁴ +с⁴=50. Определите аb + bс + са.
   

2. 
   Три высоты треугольника пересекаются в точке О. Одна высота в точке О делится пополам, вторая начиная с вершины делится в отношении 2:1 . Найти в каком отношении делится третья высота?
   

3. 
   Дано две последовательности чисел. х₀ ; х₁ ; х₂ ; ... ;х_n , ... , у ₀;у₁;у₂; ... ; у _n;... удовлетворяют условиям : х_n+1 =2x_n + y_n , y_n+1 =2y_n + x_n , х₀ =1, y₀=0. Определите общие члены x_n и у_n этих последовательностей.