Оқу курсының тақырыбын іске асыру күнтізбесі

Белгісіздер х және у-ке қарағанда екінші дәрежелі жалпы теңдеу мына түрде жазылады:

Біздің қарастырайық деп отырған қисық сызықтар осы екінші дәрежелі теңдеудің арнайы түрлермен анықталады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясын конустық қимылдардың теориясы деп отырған қисық сызықтар қарсы екінші дәрежелі теңдеудіңарнайы түрлерімен анықтлады. Олар шеңбер, эллипс, гипербола және парабола. Ғылым және техника салаларында осы қисық сызықтар жиі кездеседі. Геометрияда бұл қисық сызықтар теориясынконустық қимылдардың теориясы деп те атайды, себебеі конусты әр түрлі хазықтармен қиғанда оның қимасында (жазықтықтың орнына қарай) шеңбер, эллпс, гипербола және парабола пайда болады.

Енді осы екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулерін декарттық координаталар жүйесінде қорытып шығарайық та, қисықтарды және олардың қасиеттерін теңдеулері арқылы зерттейік.

1.Шеңбер.

Анықтама. Центр деп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтық нүктелерінің жиыны шеңбер деп аталады.

Егер нүктесі шеңбердің центрі, R-радиусы,ал оның ағымдағы кез келген нүктесі болса, (2- сурет), онда бойынша

1-сурет 2-сурет

Соңғы теңдіктің екі жағын квадраттасақ,

Элиппстің теңдеуін қорытып шығарамыз.

F₁(-c,0) және F₂(c,0) эллипсиің фокустары деп, r₁ және r₁ фокальдық радиустары деп аталады.

Салудың көрнекілігі. Эллипсті былай салуға болады: жер бетінде белгілі бір қашықтықта екі қазық қағады. Жіптің екі ұшын біріктіріп байлап екі қазыққа іледі. Жіпті үшінші қазыққа іледі де тарта отырып қазықтың ұшымен жерді сызып эллипсті алады. Екі қазықтың арасын және жіптің ұзындығын өзгерте отырып, мөлшері мен формасы әртүрлі эллипс алуға болады.

Эллипстің теңдеуін қорытып шығару үшін жазықтықтың M(x,y) аламыз да оның фокустан қашықтығының формуласын қарастырамыз:

Эллипстің анықтамасы бойынша осы екі қашықтықтың қосындысы тұрақты және 2a-ға тең:

Енді ұқсас мүшелерін біріктіріп және 4-ке қысқарта отырып ықшамдаймыз:

сонда

Екі жағын да - –қа бөлеміз

немесе, таңбасын ауыстырамыз да эллипс иеңдеуін аламыз

2a сынық сызығы 2c-дан артық, сондықтан квадраттар айырымын белгілейміз:

Сонымен, эллипстің канондық теңдеуін аламыз:

Эллипстің абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз.

Эллипстің ордината осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз:

(3) теңдеуден және суреттен эллипстің Ox және Oy осьтері бойынша симметриялы орналасқаны көрініп тұр.

Эллипстің фокальдық радиустарын қарастырамыз:

эллипстің анықтамасы бойынша

Фокальдық радиустардың квадраттарының айырымын қарастырамыз

немесе .

Фокальдық радиустарын табу үшін теңдеулер жүйесін шешеміз

эллипстің эксцентриситеті деп аталады.

Фокустардың ара қашықтығы сынық сызығынан кіші болатын фокустар эллипстің ішінде жатады және

Сонымен, эллипстің фокальдық радиустары былай анықталады:

Егер болса, онда Ox фокальдық ось, егер болса, онда Oy фокальдық ось болады.

Ордината осіне паралель екі түзуін фокальдық радиустың М нүктесінен осы түзуге дейінгі қашақтығына қатынасы эксцентриситетке тең тұрақты сан болатындай етіп жүргіземіз, яғни

Табылған фокальдық радиус пен ара қашықтықты орнына қоямыз:

және де

теңдеуінен табылатыны белгілі.

Эллипстің теңдеуінен туынды аламыз:

, бұдан немесе

ның мәнін жанама теңдеуіне қоямыз

,

түрлендіріп ықшамдаймыз

Сонымен, эллипске жүргізілген жанаманың теңдеуі:

(3) канондық түріне келтіреміз,

Эксцентриситетін табамыз:

Директриса теңдеулерін табамыз

Берілген нүкте эллипстің бойында жатқандықтан оның координаталары эллипстің теңдеуін қанағаттандырады.Сондықтан, мәндерін жанаманың теңдеуіне қойып, эллипстің А нүктесіне жүргізілген жанамасының теңдеуін аламыз:

Эллипстегі координата осьтерін енгізген тәсілмен координаталар жүйесін енгіземіз

Гиперболаның теңдеуін қоирытып шығару үшін жазықтықтың M(x,y) нүктесін аламыз да оның фокустан қашықтықтарын табамыз:

Гиперболаның анықтамасы бойынша осы қашықтықтардық айырымы тұрақты және 2a-ға тең:

Гиперболаның теңдеуі математикалық жолмен құрылды, енді түрлендіру арқылы оны ықшамдаймыз:

Екі жағын да –қа бөлеміз

2a˂2c болғандықтан квадраттар айырымын белгілейміз:

Сонымен, эллипстің канондық теңдеуін аламыз:

Гиперболаның абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз.

Гиперболаның ордината осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз:

(2) теңдеуден және суреттен гиперболаның Ox және Oy осьтері бойынша симметриялы орналасқаны көрініп тұр.

Гипербола теңдеуінен у-ті табамыз:

Егер онда Ендеше, гипербола шенелмеген.

Көлбеу асимптота бұрыштық коэффициенттерімен берілген түзу теңдеуімен беріледі:

Бұрыштық коэффициентін табу үшін b=0 делік, сонда

Сонымен, гиперболаның координаталар басынан өтетін екі асимптотасы бар:

Алдымен Ох осі бойынша қабырғасы 2а, Оу осі бойынша қабырғасы 2b тік бұрышты саламыз. Осы төртбұрыштың диагональдарын жүргіземіз де созамыз,олар асимтоталар болады:

немесе .

Бұдан жүйе алынады:


Анықтама бойынша өйткені

Эллипстің директрисасы тәрізді гипербола директрисасы теңдеулерімен анықталады.

Гиперболаның эксцентриситеті болатындықтан директрисасы яғни директрисалар төбенің арасында жатады.

Фокальдық радиустың кез келген нүктеден директрисаға дейінгі қашықтыққа қатынасы тұрақты санға, яғни эксцентритетке тең:



Гиперболаның жанамасының теңдеуі. Гиперболаның теңдеуі және онда жатқан M₀(x₀,y₀) нүктесі берілсін:

Гиперболаның теңдеуінен туынды аламыз

Жанаманы табатын теңдеуге қоямыз

ықшамдаймыз

Сонымен, гиперболаның жанамасының теңдеуі

Берілгені бойынша . Бұдан .

Сонда, гиперболаның канондық теңдеуі:



2-Мысал. Гиперболаның теңдеуінен оның элементтерін анықтау керек: а) жарты осьтерін: ә) фокусын: б) эксцентриситетін: в) асптота теңдеуін: г) директриса теңдеуін.

а) Гиперболаның канондық теңдеуі . Осыдан a=5,b=3-жарты осьтері. ә) .

Сонда, мен -нүктелері гиперболаның фокустары;

б) – эксцентриситеті;

в) – асимптоталары;

г) – директрисалары.

Фокустан директрисаға дейінгі ара қашықтықты параболаның параметрі деп атайды да p әріпімен белгілейді. М(х;у) нүктесінен фокусқа дейінгі қашықтығы

Анықтама бойынша осы екі қашықтық тең

Осы теңдіктің екі бөлігін де кваттап ықшамдаймыз:

бұдан :

-бұл параболаның канондық теңдеуі.

Парабола (0;0) координаталар басы нүктесі арқылы өтелді, өйткені ол оның (1) теңдеуін қанағаттандырады.

Параметр р- оң сан болсын делік, өйткені , онда және парабола тек оң жарты жазықта болады. Егер , онда және парабола тек теріс жарты жазықтықта ғана болады.

Параболаның эксцентиситеті былай анықталады: фокальдық радиустың нүктеден директрисаға дейінгі қашықтығына қатынасы бірге тең, яғни

Параболаға жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті –ны табамыз, ал ол үшін (1) теңдеуінен туынды аламыз:

Осыны бұрыштық коэффициентімен берілген түзу теңдеуіне қоямыз:

Сонымен, параболаға жүргізілген жанама теңдеуі:

ендеше,

Сонда, ізделінді парабола теңдеуі: .
Екінші ретті қисықтардың жалпы анықтамасы. Екінші ретті қисықтардың (эллипс, гипербола, парабола) бәріне ортақ қасиеті бар, сондықтан басқа анықтама береміз.

Анықтама. Фокальдық радиустарының өзіне сәйкес директрисаларға дейінгі қашықтықтарына қатынасы тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орны эксцентриситетке тең, яғни

мұнда:

1. 
   егер , онда эллипс деп аталады,
   
2. 
   егер , онда гипербола деп аталады,
   
3. 
   егер , онда парабола деп аталады.
   

Түріндегі теңдеу екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Коэффициенттерге мәндер бере отырып гиперболаның, эллипстің және параболаның теңдеулерін ала аламыз.

Мысал үшін,

демек, онда эллипстің теңдеуін аламыз:

Алдын ала

дербес теңдеуін қарастырып, зерттелік, ал мұны былай бейнелейміз:

a) , болғанда теңдеу эллипсті береді.

ә) , болғанда теңдеу эллипсті береді;

б) , болғанда теңдеу гиперболаны береді.

делік, онда теңдеу

в) А мен В-ның таңбалары бірдей болғанда болады, онда квадраттардың қосындысы нөлге тең, яғни әр мүше нөлге тең, ендеше, қисық бір нүктеге айналады.

г) А мен В-ның таңбалары әртүрлі болсын делік, яғни , онда теңдеуінің сол бөлігі квадраттардың айырымын береді. Теңдеу екі теңдеуге ажырамайды:

,

мұндағы K кез келген сан.

Әр теңдеу түзуді кескіндейді, ал теңдеулер жүйесі түзулердің қиылысу нүтесін береді. Нөл мен K еркімізше алынғандықтан шешімі ақырсыз нүктелер жиыны болады.

Енді екінші ретті қисықтардың (1) жалпы теңдеуін қарастырасмыз. Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеуін канондық түрге келтіру үшін центрлік сызықтың координаталарын паралель көшіреміз және M₀(x₀,y₀) нүктесінен айналдыра координата осьтерін бұрамыз.

Центрлік сызықты анықтау үшін сызықтың жаңа теңдеуінде бірінші дәрежелі х, у –тер болмауы қажет.

Бұл координаталды (1) теңдеуге қоямыз да жаңа X,Y айнымалылары бойынша топтаймыз:





X пен Y–тен құтылу үшін олардың коэффициенттерін нөлге теңестіреміз:

Осы жүйенің шешімі х₀ , у₀ нүктелерінің координаталырын береді.

Енді жүйені зерттейміз.
1) Егер бас анықтауыш , онда жүйенің шешімі бар- (x₀,y₀) нүктесі, яғни (1) сызықтың шекті қашықтыққа центрі болады, онда сызықтарды центрлік сызықтар дейді.
2) Егер ; яғни , онда жүйенің шешімі жоқ, ал (1) сызықтық шекті қашықтықта центрі жоқ. Ондай сызықтарды центрсіз сызықтар дейді.

3) Егер және қосымша анықтауыштар да нөлге тең болса, яғни , онда жүйенің ақырсыз көп шешімі болады. Сондықтан бұл жағдайда сызықтың ақырсыз көп нүктесі центрі болады.

Координаталар басын қисықтың центріне көшіргеннен кейін (1) теңдеуі мына түрге келеді:

(2)
2. Теңдеудің көбейтіндісі бар мүшесінен құтылу үшін айнымалыны ауыстырамыз (осьтерді бұру)

мұның бас анықтауышы

немесе түрлендіріп мынаны аламыз:

Сонымен, паралель көшіру және осьті бұру орындалғаннан кейінгі екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі

Нүктенің координаттары. Жазықтықтағы геометриялық объектілерді айқындау мақсатында осы жазықтықта тік бұрышты кооррдинат системасы деп аталатын система енгізіледі. Ол үшін жазықтықта бір біріне перпендикуляр екітүзу алады. Олардың қиылысу нүктесін О әрпімен белгілейміз және координат жүйесінің бас нүктесі деп атаймыз. Бұл түзудің біріне бірлік і векторы кесіндісі арқылы, ал екіншісінебірлік j векторы арқылы бағыт беріп, осьтер құрамыз. Остьтердің бірін ОХ осін горизонталь етіп алады да абцисса осі деп, ал ОУ осін вертикаль етіп алады да

ордината осі деп, ал ОУ осін вертикаль етіп алады да ордината осі деп

атайды. Сонымен, анықтама і мен j векторларының ұзындығы бірге тең және олар өзара перпендикуляр: .

Тероманы дәлелдеу ушін ХОУ кооррдинат жүйесін алып, О мен М нүктелері арқылы векторларын құралық. Сонда векторларын бірлік і және j векторлары бойынша жіктеуге болады.

және мұндай жіктеу біреу ғана. (1) жіктеуді табу үшін векторы диагоналы болатындайетірп тік төртбұрыш құруымыз керек. Сөйтіп кез-келген М нүктесі үшін х пен у сандары бір мәнді түрде табылады. Екі санның парын М нүктесінің координаттары деп атайды және оны былай жазады: , х санын М нүктесінің абциссасы, у санын М нүктенің ординаты деп атайды.

Сонымен М нүктесінің координаттары (1) жіктеу бойынша бір мәнді табылады.

Теорема. Тік бұрышты ХОУ координат жүйесінде мен векторларының скалярлық көбейтіндісі сәйкес координаттар көбейтінділерінің қосындысына тең болады:

Дәлелдеу. (1) жіктеу бойынша:

Енді бұлардың скалярлық көбейтіндісін координаттар бойынша жүргізелік.

Олай болса,

Бұл дәлелдеуі (2) формуладан және скаляр квадраттың анықтамасынан

келіп шығады.

Екі нүктенің арақашықтығы. А мен В нүктелерінің ара қашықтығын олардың және координаттары бойынша табу мәселесін алдымызға мақсат етіп қоялық. Бұған мына теорема жауап береді.

ендеше,

І пункттегі анықтама бойынша мен векторларының координаттары (х₁, у₁) және (х₂, у₂) болады. Сондықтан векторының координаттары А мен В нүктелерінің ара қашықтығы векторының ұзындығына тең:

Ал, вектор ұзындығының квадраты скаляр квадратқа тең болғандықтан

Енді 1 пункттегі салдар бойынша, яғни (3) формуладан:

1. 
   Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Бұл пункттегі мақсатымыз берілген және нүктелері арқылы кесіндісін берілген қатынасындай етіп бөлетіндей нүктесінің координаттарын табу.
   

Қатынасындайетіп бөлетін нүктесінің координаттары:

формулаларымен есептеледі.

Дәлелдеу. мен векторлары коллинеар демек, (9) теңдік бойынша:





, және болғандықтан, (11) теңдігінен және сәйкес координаттарды теңестіруден:

және

Бұл теңдеулерден ізделінді х пен у айнымалыларын есептесек, дәлелдегелі отырған (10) теңдіктер шығады.

Салдар. Егер және нүктелерінің координаттары берілсе, онда кесіндісін кесіндісін қақ бөлетін нүктесінің координаттары мына формулалармен есептеледі:

Бұл салдардың дәлелдемесі (10) теңдіктерден болғанда келіп шығады.

Мысал: және нүктелері берілгенде кесіндісінің қатынасындай бөлетін нүктесін табу керек.

(10) формуланы қолдансақ:

және

Жауабы: .

Жазықтықта О нүктесін және сол нүктеден шығатын ОР жарты түзуін, басқаша айтқанда ОР сәулесі полярлық ось деп аталады.

Жазықтықтағы кез келген М нүктесіне екі санды сәйкестендіруге болады:

Полярлық радиус деп аталатын сан О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтықты көрсетеді;

Полярлық бұрыш деп аталатын бұрышы бұл полярлық осьтен ОМ түзуіне қарай сағат тілінің бағытына қарсы алынады.

Полярлық радиус – теріс емес сан. Полярлық бұрышы - аралығында жатады.

Полюс О үшін полярлық радиус нольге тең, ал полярлық бұрыш полюс үшін анықталмаған.

Полярлық координаттары және нүктесін М ( , ) деп жазады.

Егер декарттық координат жүйесін оның координат бас нүктесі полюспен, ал ось Ох полярлық осьпен беттесетіндей етіп алсақ, онда М нүктесінің полярлық координаттары және декарттық координаттары арасындағы байланыс:

Кеңістікте бет теңдеуі

түрінде беріледі, мұндағы F трансценденттік нмесе алгебралық функциялар.

Алгебралық функциялармен берілген беттерді қарастырамыз.
Цилиндрлік беттер

Анықтама. Берілген а (жасаушысы) түзуіне паралель әрі L сызығын қиып өтетін паралель түзулердің геометриялық орнын цилиндрлік бет немесе цилиндр деп атайды.
Цилиндрлік беттің теңдеуін құру. Бағыттаушы L сызығы

(1)
Теңдеулер жүйесімен және жасаушы түзу


бағыттаушы вектормен берілсін делік.

Беттің ағымдағы координаталарымен M(X,Y,Z) нүктесін алайық.

Мұнда бағыттаушы түзулер нүктелерін бет нүктелерінен ажырату мақсатында X,Y,Z айнымалылары бас әріпімен алынды.

векторын қарастырамыз.

Беттің кез келген M нүктесі үшін векторы және векторы коллинеар болуы керек, яғни олардың сәйкес координаталары

пропорционал. (1) теңдеу мен канондық теңдеуді біріктіріп теңдеулер жүйесін алмыз:

Егер кеңістікте F(x;y)=0 немесе F(x;z)=0 немесе F(y;z)=0 теңдеуі берілсе, онда бұл жасаушысы жоқ координата осіне паралель бағыттаушысы L сызығы болатын цилиндрлік бет болады.

-конустық беттің төбесі, ал түзулер жасаушысы деп аталыды.

Конустық беттің теңдеуін құру керек.

Беттің теңдеуін құру ережесі бойынша бағыттаушы қисық сызықтың бір M₁(x,y,z) нүктесін және беттің ағымдағы координаталарымен M(X,Y,Z) нүктесін аламыз. Коныстық беттің өзіне тән қасиеті, ондағы үш нүкте бір түзудің бойында жатады анықтама бойынша .

Ендеше, векторлары коллиняр болады. және M₁ нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін құрамыз:

берілген конустық беттіңтеңдеуін жазу керек.

(3) формуланы ескерсек:

Сфераны кескіндейміз және конустық бетті саламыз:

Жүйеден x,y-терді табамыз:

және z=4 -ті теңдеулерге қоямыз:

Бұл теңдеулерден x,y -терді шығарып тастаймыз да, конустық беттің теңдеуін аламыз:

Бұл қисық Oy осімен айналсын делік, сонда алынған беттің теңдеуін құру керек.

Бағыттаушы қисықтың бір M₁(0,y,z) нүктесін аламыз.Осы нүкте арқылы zOx жазықтығына паралель жазықтық жүргіземіз, сонда қимасында центрі N(0,y,0) болатын шеңбер аламыз.

Беттің теңдеуін қорытып шығару үшін осы шеңбердің ағымдағы координаталарымен бір M(X,Y,Z) нүктесін аламыз. Оны N нүктесімен қосамыз, сондағы, соңғы MN кесіндісі шеңбер радиусы болады.

Тік бұрышты үшбұрыштан:

Екінші жағынан, осы

радиусы M₁ нүктесінің апликатасы,

яғни

OY-тен айналуынан кез келген шеңбер үшін оның ординатасы сақталатыны анықтамадан көрініп тұр, яғни y=Y .

(1) қисығының OY осі бойынан айналуынан шыққан беттің теңдеуін құру үшін y-ті Y -пен, ал z-ті -пен алмастырамыз, сонда

Сонымен, координата осі бойымен айналудан шыққан дененің теңдеуін құру үшін бағыттаушы сызық теңдеуіндегі аттас айнымалы координтаны қалдыру керек, ал екінші айнымалыны жетпей тұрған айнымалылардың квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірмен алмастыру керек. Мысалы,

1. , OX осін айналады: немесе .

2. , OY осін айналады: немесе .

3. , OZ осін айналады: немесе ,

ал мұны формула түрінде былай көсетемыз:

Бұл эллипсті Oz осі бойынан айналдырамыз. Беттің теңдеуін алу үшін -ты сақтаймыз, ал -ты -пен алмастырамыз, сонла

немесе

алынған бет айналу эллипсоиды деп аталады.

Сол жағы теріс емес, ендеше оң жағы да теріс болмауы керек

яғни қимада шеңбер алдық:

Сонымен айналу эллипсоидын Oz осі бойына концентрлі паралель орналасқан шеңберлер деп көрсетуге болады және оның шеттері (1) эллипсі бойымен жылжиды:

Қимада шеңбер орнына паралель коцентрлі эллипстер алайық

ал оның шеттері (1) эллипс бойымен жылжысын. Тұрақты h-ты айнымалы z-пен алмастырайық, сонда мынадай бет аламыз:

немесе

ал бұл үш осьті эллипсоид теңдеуі.

Мысалы, эллипсоидты xOy координата жызықтығымен қисақ, яғни

Басқа координата жазықтығымен қиғанда да, эллипстер алынады.

Бұл гиперболаны Oz осі бойымен айналдырамыз:

Сонда (25) ереже негізінде айналубетін аламыз:
немесе , (4)
ал бұл бір қуысты айналу гиперболоидының теңдеуі.

Бұл бетті z=h жазықтықтарымемн қиямыз:

түрлендірсек, қимасында шеңбер аламыз:

Кез келген z=h жазықтығы (4) бетті қиғанда (5) шеңбер шығады.

(4) бір қуысты айналу гиперболоидын шеті гипребола бойымен жылжитын концентрлі шеңберден алынған бет деп те қарауға болады.

(5) шеңбердің орнына паралель концентрлі эллистрді аламыз:

(6) бір қуысты гиперболоид теңдеуін қарастырамыз:

Былай түрлендіреміз:

ал бұл кез келген k≠0 үшін орындалады.

Бұл жүйе теңдеуі жүйе түрінде берілген екі жазықтықтың қиылысуынан шығатын түзуді береді. k –ға кез келеген сан мәнін бере отырып паралель түзулер үйірін аламыз.

Анықтама. Бет паралель түзулерден құралатын болса, онда жасаушылары түзу сызықты деп атайды.

(7) түзулер (6) бір қуысты гиперболоидтың түзу сызықты жасаушылары болып табылады.

Жасаушысы түзу сызықты бір қуысты гиперболоидты бірінші рет математиканы жетік білетін орыс инженері В.Г. Шухов мұнараларды салуда қолданды. Мәскеу қаласындағы «Шаболовская» метросы жанындағы телевизор мұнарасы осылау салынды. Мұндай конструкциялар әрі тамаша, әрі мықты және құрылысы өте жеңіл.

Екі қуысты гиперболоид. жазықтығында

(8)

гиперболасын қарастырамыз, мұның

төбесі x=0; z=±c.

Гиперболаны осі бойымен айналдырамыз,

сонада мынадай айналу беті шығады:


немесе ,
ал бұл екі қуысты айналу гиперболоиды.

Бұл бетті шеті (9) гипербола бойымен жылжитын концентрлі шеңберлерден құрылған деп қарастыруға болады. Осы бетті жазықтығымен қиятын болсақ, онда

Шеңбер орнына паралель концентрлі эллипстерді алайық:

гиперболоиды шығады. (10) беті екі қуысты гиперболоид деп аталады.

Бұл бетті шеті (9) гипербола бойымен жылжитын концентрлі эллипстерден құрылған болады.


Лекция №12 Параболоидтар
Параболоидтар. xOz жазықтығында

(1)

параболасын қарастырамыз.
Параболаны Oz осі бойымен айналдырамыз,

сонда айналу параболоиды шығады:

Айналу параболоидын z=h жазықтығымен қиямыз, сонда қимасында шеңберді аламыз:

Айналу параболоидын концентрлік

шеңберден құралған бет деп қарастыруға болады, ал олардың шеттері (1) параболасы бойымен жылжиды.

Шеңберлер орнына концентрлі

эллипстерді қарастырамыз, сонда параметр h-ы айнымалы z-пен алмастырсақ

параболоид бетін аламыз.

Шеттері (1) парабола бойымен жылжитын эллипс орнына гипербола тармақтарын алатын болсақ, онда шыққан бет



гипербололық параболоид деп аталады. бұл беттің де жасаушылары түзу сызықты.

Ескерту. Бетті кескіндеу, жалпы жағдайда қиынның қиыны, әсіресе кеңістікте ойша елестету одан да қиын. Ол үшін қималар әдісін қолданады, яғни бетті координата жазықтықтарымен қияды және олардың қиылысу сызықтарын кескіндейді. Бетті жазықтықтармен көбірек қиылыстырған сайын оның бейнесі дәлірек көріне бастайды. Жазықтықта да қисықты салу кезінде көбірек нүкте алу керектігі белгілі ғой.

Егер беттің теңдеуінде айнымалы кездеспесе, онда ол теңдеу жоқ айнымалымен аттас координата осіне паралель цилиндрлік бетті береді. Мысалы, мына теңдеулер кеңістікте мына беттерді сипаттайды:

Сонымен, цилиндрлік және конустық беттердің жасаушылары олардың түзу сызықты жасаушылары.

Эллипсоид – тұйық бет, оның түзу сызықты жасаушылары жоқ.

Сол сияқты екі қуысты гиперболоидтың, эллипстік параболоидтың түзу сызықты жасаушылары жоқ.

Бір қуысты гиперболоид

теңдеуімен берілсін.

: түзуінің гиперболоидтың түзу сызықты жасаушысы болуының қажетті және жеткілікті шарттары:
. . .
Гиперболоид теңдеуін жіктеп, жасаушылар теңдеуін табамыз.

Бір қуысты гиперболоидтың түзу сызықты жасаушыларының екі үйірі бар.

Бір үйірдің екі түзу сызықты жасаушылары айқас болады.

Гиперболалық параболоид

теңдеуімен және түзуі параметрлік теңдеуімен берілсін.

.

Параболоид теңдеуін

түрінде жазып, түзу сызықты жасаушыларының екі үйірін аламыз:

Жалпы теңдеуі:

(2) теңдеу декарттық жүйеде берілген төмендегі өрнектер инвариантты түрлендірулер болып табылады:

Келесі түрлендірулер семинвариантты деп аталады:

Дербес жағдайларды қарастырайық:рабоч

Дербес жағдайларды қарастырайық.

I. болса, онда 2-ші ретті бет келесі түрде болады:

Мұндағы ,

мұндағы ,

мұндағы, .

мұндағы, ,

мұндағы .

II. Егер болса, онда теңдеу бейнесі төмендегідей:

(4)

. Егер бір таңбалы болса, онда (4) теңдеу эллипстік параболоид болады:

деп белгілесек, онда

түріне келеді.

мұндағы

III. болсын, онда теңдеу бейнесі төмендегідей:

мұндағы .

мұндағы

мұндағы

V. Егер болсын, онда теңдеу бейнесі төмендегідей:

Екінші ретті беттердің центрінің координатасы мына формуламен анықталады:

1. 
   Эллипстік параболоидтың
   

формуласында канондық бас нүкте парабола төбесі болып табылады. Ойысу жағына бағытталған эллипстік параболоидтың векторы төмендегідей анықталады:

1. 
   Гиперболалық парболоидтың бағыттауыш векторы (1) формуламен анықталады. Ал төбесі (2) формуламен анықталады. Егер болса, онда канондық түрі
   

Мұнда параболоидтың параметрі бірдей болады. Параболоидтың бағыттауыш осі болады.

2. 
   Эллипстік цилиндр формуламен анықталады. Эллипстік цилиндрдің осі мына жүйе арқылы анықталады:
   

3. 
   Гиперболалық цилиндр . Гиперболалық цилиндрдіңғ орналасуын анықтау үшін осі мен бағытталған векторларын білу қажет. Цилиндр осі (3) формуласымен анықталады.
   
4. 
   Парболалық цилиндрдің орналасуын анықтау үшін:
   

б) цилиндрге жанама жазықтықты ;

в) жанама жазықтыққа перпендикуляр векторды

білу керек.

Егер жалпы теңдеу парболалық цилиндрді бейнелесе, онда ол

немесе

және
,


перпендикуляр болатындай m таңдаймыз:


Бұдан m тапсақ,

• 
  симметрия жазықтығын анықтайды.
  

Егер координата басы бет центрі болса, онда теңдеу төмендегідей болады.