Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

314
ξ
i 
қосылғыштарының əрқайсысының барлық қосындыға болмашы 
ғана əсер етуін талап ететіндігінде жатыр. 
§8.
 
Салдарлар. Муавр-Лапластың интегралдық 
теоремасы
Əрбір сынауда 
А
 оқиғасы 
р 
ықтималдығымен пайда болатын 
тəуелсіз біртекті сынаулар тізбегін қарастырайық. 
п
 тəуелсіз 
сынау жүргізгенде 
А
 оқиғасының 
m
1
-ден кем болмайтындай жəне
m
2 
-
 
ден аспайтындай пайда болуының ықтималдығы Бернуллидің
(
)
2
1
1
2
m
m
m
n m
n
m m
p m
m m
C p q
−
=
≤ ≤
=
∑
формуласы бойынша есептеледі. 
п-
нің үлкен мəндерінде бұл 
формуланы іс жүзінде қолдану мүмкін емес. Мұндайда Муавр-
Лапластың интегралдық теоремасы қолданылады. Оны негіздеу 
үшін оқиға пайда болғанда 1-ге тең мəн қабылдайтын, ал пайда 
болмағанда 0 мəнін қабылдайтын сынаулар индикаторлары болып 
келетін {
ξ
i
} тəуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегін қарастырайық. 
Индикаторлар қосындысы, яғни 
∑
=
=
n
i
i
n
1
ξ
ς
, 
п
 тəуелсіз сынау 
жүргізгенде 
А
 оқиғасының пайда болу санына, атап айтқанда
т 
- ға тең, сонымен бірге
2
( )
;
( )
;
;
.
i
i
i
i
n
n
a
M
ð b
D
pq
A
np
B
npq
ξ
ξ
=
=
=
=
=
=
Ляпунов теоремасының шарттары орындалады, сондықтан 
ς
n
=
m
кездейсоқ шамасы 
а = пр 
математикалық күтілімі жəне 
npq
σ
=
 
орташа квадратты (стандартты) ауытқуы бар асимптоталы 
нормаль үлестірілген. 
ς
n
=
m
 кездейсоқ шамасы 
m
1
-ден 
m
2
-ге 
дейінгі аралықта жату ықтималдығын табу ғана қалады. Ол
(
)
1
2
1
2
m
np
m np
m
np
p m
m m
p
nqp
nqp
nqp


−
−
−
≤ ≤
=
≤
≤
≈




2
2
1
2
1
2
1
,
2
m
np
nqp
x
m np
nqp
m
np
m
np
e
dx
npq
npq
Φ
Φ
π
−
−
−




−
−
≈
=
−












∫
         
(10.24)
түрінде табылады, мұндағы 
Ф
(
x
) - Лаплас функциясы.

315
Осымен Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы негізделді. 
Сонымен, Муавр-Лапластың теоремасы бойынша
 
m np
nqp
−
 
шамасы 
нормальға жақын үлестірілген. Нормаль үлестірім кестелерінен
{
}
2
1,96
2
1,96
1
1,96
1,96
2
x
p
e
dx
ξ
π
−
−
−
≤ ≤
=
=
∫
2
Ф
(1,96) = 0,95;
{
}
2
3
2
3
1
3
3
2
x
p
e
dx
ξ
π
−
−
− ≤ ≤
=
=
∫
 
2
Ф
(3) = 0,997;
p
{
ξ
<–1,96} =  
p
{
ξ
 >1,96} =  0,5 –
Ф
(1,96) = 0,5 – 0,475  =  0,025;
p
{
ξ
<–3} =  
p
{
ξ
 >3} =  0,5 –
Ф
(3)  =  0,5 – 0,49865 =  0,00135
қатынастары туындайды. Жазылған қатынастар 0,95-ке тең
ықтималдықпен қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама модуль
бойынша 1,96 санынан артпайтынын, ал 0,997-ге тең 
ықтималдықпен модуль бойынша 3 санынан артпайтынын 
білдіреді. 
ξ
 үшін де біржақты шектер осыған ұқсас жазылады. 
Сонымен, 0,95-ке тең ықтималдықпен 
1,96
1,96
1,96
1,96
m np
np
nqp
m np
nqp
nqp
−
−
≤
≤
⇒
−
≤ ≤
+
қатынасы орындалып, 0,997-ге тең ықтималдықпен
3
3
3
3
m np
np
nqp
m np
nqp
nqp
−
− ≤
≤ + ⇒
−
≤ ≤
+
қатынасы орындалады.
(
)
(
)
1,96
1
;
1,96
1
m np
n
p p
m np
n
p p
≤
−
−
≥
+
−
теңсіздіктерінің орындалу ықтималдығы 0,025 болса, 1,96 саны 
3-ке алмастырылған теңсіздіктерінің орындалу ықтималдығы 
тіпті де 0,001-ге тең. 
t
γ
 санын 
Ф
( )
2
t
γ
γ
=
 теңдеуінің түбірі ретінде 
анықтауға (ол кесте бойынша табылады: 
γ 
=   0,95 мəні үшін
t
γ 
= 1,96, ал 
γ 
=   0,997 мəні үшін 
t
γ 
=  3) жəне 
γ
 ықтималдығымен
(
)
(
)
1
1
np t
n
p p
m np t
n
p p
γ
γ
−
−
≤ ≤
+
−
          
(10.25)

316
теңсіздігі орындалады деп айтуға болады. Егер 
α
= 1 –
γ
 қатесі 
енгізілсе, онда 
t
γ
-мен анықталатын біржақты интервалға түспеу 
ықтималдығы 
α
/2-ге тең, атап айтқанда 
(
)
{
}
1
p m np t
n
p p
γ
≤
−
−
=
(
)
{
}
1
1
2
2
p m np t
n
p p
γ
α
γ
−
=
≥
+
−
=
=
         
(10.26)
Бұл формулалар Муавр-Лапластың теоремасынан тікелей 
туындайтын салдар болып келеді.
Мысал
. 
Тиын-теңге 900 рет лақтырылғанда елтаңба жағы 
490 рет көрінді. Тиынның симметриялылығы жөнінде не айтуға 
болады?
Шешімі.
 
Тиын симметриялы болса, онда 
p
1
,
2
=
 
1
,
2
q
=
 
пр
= 450 жəне 
900
900
450 2
450 2
2 2
2 2
p
m




− ⋅
≤ ≤
+ ⋅
=


⋅
⋅




{
}
450 30
450 30
0,95,
p
m
=
−
≤ ≤
+
=
900
900
450 3
450 3
2 2
2 2
p
m




− ⋅
≤ ≤
+ ⋅
=


⋅
⋅




{
}
450 45
450 45
0,997.
p
m
=
−
≤ ≤
+
=
Демек біздің былай айтуымызға болады: «Тиынның сим-
метриялы болмауына 95% сенімдіміз». Алайда осының өзіне 
99,7% сенімді екенімізді енді айта алмаймыз.

317
ХI тарау.
 
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
§1. Оқиға ықтималдығын бағалау
Қандай да бір 
А
 оқиғасының 
р 
ықтималдығын анықтауда 
п 
тəуелсіз, біртекті сынаулар жүргізілсін. 
п 
сынауда 
А
 оқиғасы 
т
(
А
) рет пайда болсын. 
т
(
А
)/
п 
саны 
р-
ны қаншалықты дəл 
бағалайтынын түсінгіміз келеді. Алдыңғы тараудың 5.1 
тармағында енгізілген сынаулар индикаторларының қосындысы
болып келетін
 
1
n
i
i
ζ
=
∑
 
кездейсоқ шамасын қарастырайық.
Оның математикалық күтілімі 
пр 
түрінде табылған болатын. 
Индикаторлар қосындысы 
т
(
А
)-ға тең болғанын ескерген күнде 
ізделінді бағалау үшін 
( )
( )
1
1
n
i
i
m A
p v A
n
n
ζ
=
=
=
=
∑
ɶ
теңдігінің орындалатынын көреміз. Осы бағаны зерттейік. 
Бұл кездейсоқ шаманың үлестірімі Чебышев теоремасы 
орындалатындай шарттарды қанағаттандырады:
( )
( )
1
1
1
1
1
1
;
n
n
n
i
i
i
i
i
i
M p
M
M
p
p
n
n
n
ζ
ζ
=
=
=


=
=
=
=




∑
∑
∑
ɶ
1
1
1
1
lim
lim
lim
.
n
n
i
i
ï
ï
ï
i
i
p
p
p
n
n
ζ
→∞
→∞
→∞
=
=
=
=
=
∑
∑
ɶ
Мұнда «математикалық күтімнің қасиеттері жəне кездейсоқ 
шамалар жүйесінің арифметикалық орта мəні - ықтималдығы 
бойынша олардың математикалық күтімдерінің арифметикалық 
орта мəніне жинақталады» деген тұжырымы бар Чебышев 
теоремасын қолдандық. 
Сонымен, ықтималдық баға, бағаланатын мəнге ықтималдық 
бойынша жинақталады. Мұндай шама кездейсоқ шама болады 
жəне бағаланатын параметрден өзгеше болуы мүмкін. Олай 
болса табылған мəннің дəлдігі мен сенімділігін бағалау қажеттігі 
туындайды, атап айтқанда белгісіз параметрді оның бағасымен 

318
алмастырған қандай қателерге келтіретінін білу талап етіледі 
жəне осы қате белгілі шектерден шығып кетпеуін қандай 
сенімділікпен күтуге болады. Осы мақсатпен интервалдық бағалау 
салынады, атап айтқанда таңдама мəндері бойынша, алдын 
ала берілген жəне 1-ге жақын ықтималдықпен (оны 
сенімділік 
ықтималдығы
 немесе 
бағаның сенімділігі
 дейді) белгісіз
параметрді жабатын интервал көрсетіледі. 
ν
(
A
) салыстырмалық 
жиілігінің 
р 
ықтималдығынан ауытқуын, атап айтқанда 
ν
(
A
)–
p
=
p
ɶ
–
p
 айырымын қарастырайық. Муавр-Лапластың 
теоремасы бойынша
 
m np
nqp
−
 
шамасы нормальға (қалыптыға)
жақын үлестірілген екендігін жəне нормаль (қалыпты) 
үлестірілген ξ шамасы үшін қайтадан 
{
}
(
)
2
1,96
2
1,96
1
1,96
1,96
2
1,96
0,95;
2
x
p
e
dx
ξ
Φ
π
−
−
−
≤ ≤
=
=
=
∫
{
}
( )
2
3
2
3
1
3
3
2
3
0,997
2
x
p
e
dx
ξ
Φ
π
−
−
− ≤ ≤
=
=
=
∫
болатындығын пайдаландық. Демек
1,96
1,96
0,95
m np
m
qp
P
P
p
n
n
nqp




−




≤
=
− ≤
=












жəне
3
3
0,997.
m np
m
qp
P
P
p
n
n
nqp




−




≤
=
− ≤
=












γ
t
 санын 
Ф
( )
2
γ
γ
=
t
 
теңдеуінің түбірі ретінде анықтауға
(ол кесте бойынша табылады: 
γ
 
= 0,95 мəні үшін 
γ
t
 = 1,96, ал 
997
,
0
=
γ
 мəні үшін 
γ
t
 = 3) жəне 
(
)
(
)
1
/
1
/
p t
p p n
p
p t
p p n
γ
γ
−
−
≤ ≤ +
−
ɶ
ɶ
теңсіздігі  
γ
  ықтималдығымен орындалады деп айтуға болады. 
Табылған баға 
п-
нің үлкен мəндеріне орынды жəне кемшілігінің 
бірі – белгісіз шама болып келетін 
р-
ға тəуелді. Екінші 
кемшіліктен түбір астындағы 
р-
ны оған ықтималдығы бойынша 

319
жинақталатын 
p
ɶ
-мен алмастырғаннан құтылуға болады. Ондай 
алмастыру
(
)
(
)
1
/
1
/
p t
p p n
p
p t
p p n
γ
γ
−
−
≤ ≤ +
−
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
         
(11.1)
теңсіздігіне əкеледі.
п
 шамасына келер болсақ, қанағаттанарлық нəтиже 
nqp
> 9 
болуында алынады. 
т 
үшін біржақты бағаларды құрғанымызға 
ұқсас, 
р 
үшін де біржақты бағаларды салуға болады. Параметрді 
γ
 ықтималдығымен жабатын интервалды сенім интервалы, 
γ
 - 
сенімді ықтималдық немесе сенім деңгейі, ал 
γ
α
−
=
1
 - қателесу 
ықтималдығы деп аталады. Қысқаша осы айтқанымызды 
былайша тұжырымдаймыз: 0,95 сенім деңгейі үшін – «екі жақты 
(немесе біржақты) 95% сенім интервалы».
Мысал
. 
Сұрыптылықты анықтау сынауына түскен 100 дана 
бұйымның 80 данасы сынақтан сүрінбей өтті. 5% аспайтын 
жағдайларда бағаның дұрыс болмауы шартында кездейсоқ 
алынған үлгі жоғары сұрыпты екендігінің ықтималдығы үшін 
интервалдық бағаны анықтау талап етіледі.
Шешімі.
 Белгісіз параметрдің нүктелі бағасы ретінде
( )
80
0,8
100
p v A
=
=
=
ɶ
 
мəнін қабылдаймыз. Сенімділік ықти-
малдығы бойынша Лаплас функциясының мəндері кестесі 
көмегімен 
γ
t
 
= 1,96 болатынын тауып, одан соң (11.1) формуласы
арқылы екі жақты сенімділік интервалын анықтаймыз:
0,8 0, 2
0,8 0, 2
0,8 1,96
0,8 1,96
0,72
0,88.
100
100
p
p
⋅
⋅
−
≤ ≤
+
⇒
≤ ≤

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: