155
ин
,
,
.
(5.18)
бойынша
∑
, ал біздің жағдайымызда
болатындықтан,
ин
0 болады.
Меншікті импульс моменті
Күш моменті тəрізді жүйенің импульс моменті де, жалпы алғанда,
өзінеқатысты анықталатын О нүктені таңдап алуға тəуелді болады. Осы
нүктені қашықтыққа жылжытқан кезде (5.13-сурет), бөлшектің жаңа
радиус-векторлары ескі радиус-векторларымен
формула арқылы
байланысты болады. Сондықтан жүйенің О нүктесіне қатысты А импульс
моментін келесі түрде келтіруге болады:
немесе келесі түрде жазуға болады:
(5.20)
мұндағы
жүйенің
О нүктесіне қатысты импульс моменті, ал
∑ -нің
толық импульсы.
(5.20) формуладан, егер жүйенің толық импульсы
болса, онда
оның толық импульсы О нүктені таңдауға тəуелсіз болатындығы шығады.
Бөлшектер жүйесі тұтастай тыныштықта болатын Ц-жүйенің негізгі
ерекшелігі міне осында. Осыдан біз үшінші маңызды қорытындыға келеміз:
Ц-жүйеде бөлшектер жүйесінің импульс моменті өзіне қатысты анықтай
алатын нүктені таңдауға тəуелсіз болады.
Осы моментті жүйенің меншікті импульс моменті деп атайды жəне оны
деп белгілейді.
жəне арасындағы байланыс
Бөлшектер жүйесінің К-санақ жүйедегі О нүктеге қатысты анықтай
алатын нүкте импульс моменті болсын. Ц-жүйенің де импульс моменті
О нүктені таңдауға тəуелсіз болатындықтан, О нүктені берілген уақытта К-
жүйеніңнің
нүктесімен бірдей түсетіндей етіп алайық. Сонда, əрбір
бөлшектердің радиус-векторлары екі санақ жүйесінде де бірдей болады
, ал бөлшектердің жылдамдықтары формуламен байланысты болады:
,
(5.21)
156
мұндағы Ц-жүйенің К-жүйеге қатысты жылдамдығы. Сондықтан:
∑
∑
∑
.
(5.22)
Бұл теңдіктің оң жағындағы бірінші қосынды импульс моменті
болып табылады. Екінші қосындыны (5.8)-ге сай
немесе
деп
жазуға болады, мұндағы – тұтас жүйенің массасы, – оның инерция
центрінің К-жүйенің радиус-векторы,
-жүйенің қосынды импульсі.
Нəтижесінде:
,
(5.23)
яғни, бөлшек жүйесінің
импульс моменті О ның
меншікті импульс
моменті мен бөлшектер жүйесінің біртұтас қозғалысынан туатын
моменттің қосындысынан тұрады.
Көлбеу жазықтықпен домалап келе жатқан біртекті шарды
қарастырайық. Оның осы жазықтағы қандай да бір нүктеге қатысты А нүкте
импульс моменті шардың инерция центрінің қозғалысына байланысты
импульс моменті мен шардың өз өсінен айналуынан туатын импульс
моментінің қосындысынан тұрады.
(5.23)-формуладан жеке алғанда тағы да келесі тұжырымдар шығады.
Мысалы, егер жүйенің инерция центрі тыныштықта болса жəне жүйенің
импульсы
0 болса, онда оның
импульс моменті меншікті моментіне
айналады. Бұл жағдаймен біз таныспыз. Екінші шектік жағдайда,
0
болғанда жүйенің қандай бір нүктеге қатысты импульс моменті жүйенің
тұтастай қозғалысымен байланысты, яғни ол импульс моментінің екінші
қосылғышымен анықталады. Ілгерілемелі қозғалыста болатын қатты дененің
импульс моменті дəл осылай анықталады.
Ц-жүйедегі моменттер теңдеуі
Өткен
§ 5.2 параграфта (5.12) теңдеудің кез келген санақ жүйесінде
орындалатындығын айтып кеттік. Олай болса, ол Ц-жүйеде де орындалады.
Сондықтан бірден
/
деп жазуға болады, мұндағы
моменті Ц-
жүйедегі барлық сыртқы күштердің моменті. Ц-жүйе жалпы алғанда
инерциялық болмайтындықтан, моментке сыртқы өзара əрекеттесу күштері
моменттері мен қатар инерция күштерінің моменттері де енеді. Екінші
жағынан, осы параграфтың басында Ц-жүйеде күш моментінің өзіне
қатысты анықталатын нүктенің орнына тəуелсіз болатындығын көрсеткенбіз.
Көбінесе мұндай нүкте ретінде жүйенің масса центрін – С нүктесін алады.
Осы нүктені алудың себебі – оған қатысты инерция күштерінің қосынды
157
моменті нөлге тең болады, сондықтан тек сыртқы өзара əрекеттесу
күштерінің ғана
қосынды моментін ескеру керек. Сонымен:
,
(5.24)
яғни, жүйенің меншікті импульс моментінің уақыты бойынша туындысы осы
жүйенің инерция центріне қатысты барлық сыртқы өзара əрекеттесу
күштерінің қосынды моментіне тең болады. Егер
0болса, онда
, яғни жүйенің меншікті импульс моменті сақталады.
Жүйенің инерция центрі арқылы өтетін өсіне проекциясы бойынша
5.24 теңдеудің түрі:
/
,
(5.25)
мұндағы,
– сыртқы өзара əрекеттесу күштерінің Ц-жүйедегі масса центрі
арқылы өтетін қозғалмайтын өсіне қатысты қосынды моменті; егер
0
болса, онда
.
§ 5.4. Қатты дене динамикасы
Қатты дененің қозғалысы жалпы алғанда екі векторлық теңдеулермен
анықталады. Олардың біреуі – инерция центрінің қозғалыс теңдеуі (3.11),
екіншісі −Ц-жүйедегі моменттер теңдеуі (5.24):
d /d
;
d /d
.
(5.26)
Сыртқы күштердің заңдарын біле отырып, оларды қолдану түрлері мен
бастапқы шарттарын біле отырып, осы теңдеулердің көмегімен қатты дененің
əрбір нүктесіндегі жылдамдығын оның кез келген уақыт мезетінде табуға
болады, яғни қатты дененің қозғалысы мəселесін толық шешуге болады.
Бірақ, (5.26) теңдеулердің сырт қарағандағы қарапайымдылығы болмаса,
оларды жалпы жағдайда шешу өте қиын. Ең алдымен бұл Ц-жүйедегі
меншікті импульс моменті
мен қатты дененің жеке нүктелерінің
арасындағы байланыс, тек кейбір жағдайларда болмаса, көбінесе өте күрделі
болып шығады. Енді кейбір дербес жағдайларды қарастырайық.
Ең алдымен (5.26) теңдеулердің жалпы түрімен шығатын кейбір
тоқтамдарға тоқталайық. Егер біз күштерді олардың əсер ету бағытында
орын ауыстыратын болсақ, онда олардың тең əсерлесі де, олардың қорытқы
моменті де өзгермеген болар еді. Осы (5.26) теңдеулер өзгеріссіз қалады,
яғни қатты дененің қозғалысы да өзгермейді. Сондықтан сыртқы күштердің
Достарыңызбен бөлісу: |
