Максвеллдің вакуммдағы зарядтар жүйесі үшін 4-ші дифференциалдық теңдеулер жазулы. Ол теңдеулер

Кез-келген векторлық өрісті математикалық тұрғыдан толық анықтауға болады,егер оның дивергенциясы(div) мен роторы(rot) берілген болса.Максвелдің дифференциялдық теңдеулер жүйесімен сипатталатын электромагниттік өрісті көмекші шамалардың(өріс потенциалдарының)көмегімен қарастырайық.

(*)-ны (1)-ге қояйық,сонда: (2)

Магнит өрісінің вектор потенциалы сияқты электр өрісі үшінде көмекші шама енгізуге болады.Максвелл теңдеулерінен көрініп тұрғандай,оның электрлік құрашысы 2 бөліктен тұрады.1)құйынды;2)потенциалды;

(3)

(*)теңдеуді (3)теңдеуге қоямыз:

Қандайда бір скаляр шаманың градиентінен алынған роторын 0-ге тең екенін ескерсек,онда

Сонымен және шамалары белгілі болса, өрісті сипаттайтын векторларын тікелей дифференциалдау арқылы анықтауға болады.

rotrot теңдеуді пайдаланып, былайша түрлендіруге болады:

(8*) теңдеулердің оң жағындағы жақша ішіндегі теңдеу электродинамикада Лоренц калигровкасы деп аталады.

(9) теңдеулер жүйесі Максвелл теңдеулерінің потенциалдар арқылы жазылуы.

Мұндағы:

(9*)

4.3 (9) және (9*) теңдеулердің шешуін жалпы түрде қарастырайық. Қандай да бір инерциалды санақ жүйесіне қатысты зарядтардың орналасуы мен қозғалыс заңдылықтары мына түрде берілсін.

және

Кез-келген уақыт мезетіндегі және ( ) берілсін.

(10) теңдеулер жүйесі математикада Даламбер теңдеуіне сәйкес келеді.

Даламбер теңдеуінің жалпы шешімі белгілі ол теңдеуді толқындық теңдеу деп аталатын мына теңдеу:

(12)толқындық теңдеуінің дербес шешімдерінің бірі:

Кез келген векторлық өрісті математикалық тұрғыдан толық анықтауға болады егер анық div мен rot берілген болсын.

Максвеллдің дифференциалдық теңдеулер жүйесімен сипатталатын электромагниттік өрістің көмекші шамаларының өріс потенциалдарының көмегімен қарастырайық

(1)

-өрістің индукция векторлары

(*)

– магнит өрісін сипаттайтын векторлық индукция

*-ні 1-ге қояйық (2)

Магнит өрісін векторлық потенциалы сияқты электр өрісі үшін көмекші шама енгізуге болды. Максвеллдің теңдеулерінен көрініп тұрғандай анық электрлік құраушысы 2 бөліктеі тұрады;

1. 
   Құйынды
   
2. 
   потенциалды
   

Қандайда бір скаляр шаманың алынған rot 0-ге тең екенін ескерсек. (5)

Мұндағы; – скаляр потенциал

Сонымен және шамалары белгілі болса, өрісті сипаттайтын

Электродинамика

4,2 Жаңадан енгізілген өріс потенциалдарының көмегімен Максвелдің теңдеулер жүйесін жазайық. Ол үшін және векторларын және шамаларына түрлендірейік ( алмастырайық ).

(*) және 5-ші өрнектерді пайдаланамыз.

6-шы және 7-ші теңдеулерді қосымшадағы 18-ші теңдеулерді пайдаланып былайша түрлендіруге болады.

8^*-ші теңдеудің оң жағындағы жақша ішіндегі теңдеу электродинамикада Лоренц Kолибровкасы деп аталады.

cонда

Лекция №5 Өріс теңдеуін шешу

§5.1 Еркін ЭМ өріс. Жазық толқын.

§5.2 Еркін өрістің гармоникалық құраушылары.

§5.3 Сфералық толқындар.

§5.4 Қозғалыстағы стационар зарядтар жүйесінің потенциалдары.

§5.5 Кешігуші потенциалдар.

§5.1 Өткен лекциядағы (12) толқындық теңдеудің жалпы шешімін қарастырайық.Сол теңдеудің көмегімен еркін өрістің потенциалдарын анықтауға болады.

Электр заряды кеңістікте жоқ деп, тек еркін ЭМ өріс толтырып тұр деп қарастырайық.Мұндай өріс еркін өріс деп аталады.

(12)-ді басшылыққа ала отырып (10)-дің нольге тенестірейік

Δ А_х ̵ 1/с² *d²А_х/dt² = 0

ΔА_у ̵ 1/с² *d²А_у/dt² = 0

ΔА_z ̵ 1/с² *d²А_z/dt² = 0 (1)

Δ φ – 1/c²* d²φ/dt² = 0

(1)-ші теңдеулер жүйесі ЭМ өрістің зарядсызда өмір сүре алатындығын көрсетеді.Ең қарапайым бір өлшемді жағдай үшін (1)-ші теңдеулер жүйесін

d²ϑ/dt²– 1/с²* d²ϑ/dt² = 0 (2)

(2)-теңдеуді шешу еркін ЭМ өрістің шешімі болып табылады.(2)-теңдеудің шешімі мына түрде беріледі.

ϑ=ƒ₁(t ̵ x/c) + ƒ₂(t + x/c) (3)

мұндағы: ƒ₁,ƒ₂ – аргументтері болатын (t + x/c) еркімізше алынған функциялар.

(3)-теңдеу бір өлшемді жағдай үшін жалпы шешім болып табылады.

Б астапқы шарттарды қолдана отырып мынадай екі теңдеу алуға болады: ƒ₁( ̵ x/c) + ƒ₂(x/c) =φ_{бастапқы}

ƒ₁ꞌ( ̵ x/c) + ƒ₂ꞌ(x/c) =ψ_{бастапқы} (4)

(4)-теңдеулер жазық толқынның теңдеуін береді.Олай болса еркін ЭМ өрістің бір жағдайы жазық толқындар болды.

§5.2 (1)-теңдеудің кейбір дербес шешімдерін қарастырайық ол үшін айнымалыларды ажырату әдісін қолданайық.

ϑ(x, y, z, t) = φ_x (x) φ_y (y) φ_z (z) (5)

(5)-теңдеуді (2)-ші теңдеуге қойып алынған нәтижені ϑ-ға бөлейік

1/φ_х * d²φ_х/d_х + 1/φ_y * d²φ_y/d_y + 1/φ_z * d²φ_z/d_z = 0 (6)

(6)-теңдеу шешімі болу үшін нақты мынадай жағдайлар орындалу шарт

d ²φ_х/d_х – к_хφ_х = 0

d²φ_y/d_y – к_yφ_y = 0

d²φ_z/d_z – к_zφ_z = 0

d² /dt² – ω²ƒ = 0 (7)

М ұндағы к_х² + к_y² + к_z² = ω²/c² (8)

Бұл теңдеудің жалпы шешімі: φ₁=c₁e^{±i(kr̅ - ωt)}

φ₂=c₂e^{±i(kr̅ - ωt)} (9)-гармоникалық теңдеу

Жалпы жағдайда ω = ck

φ ₁=φ₀₁cos (kr̅–ωt)

φ₂=φ₀₂cos (kr̅–ωt) (9*)-гармоникалық теңдеуі

(9) және (9*) теңдеулер еркін ЭМ толқынның теңдеуі гармоникалық теңдеуіне келетіндігін көрсетеді.

(9) және (9*) теңдеулер жазық толқынның теңдеуі деп аталады.

§5.3 Сонымен кеңістікте заряд болмаған жағдайда жазық толқындар түрінде өріс болатындығына көз жеткіздік. Ал шындығында өрісті заряд тудыратындықтан. Алдымен заряд өрісті тудырып сонаң соңкеңістіктің ол бөлігінен заряд шексіздікке кетіп қалды деп түсінген жөн.

Басқа да мынадай жағдай болуы мүмкін: ЭМ өрісті тудырушы зарядтар жүйесі, нүктелік заряд түрінде қабылданып, ол координата басына орналаспаған бұл жағдайда еркін ЭМ өрісті центрлік симметриялық өріс деп қарастырып ЭМ өрісті сфералық координаталар жүйесінде қарастырған жөн.Олай болса сфералық координаталар жүйесінде толқындық теңдеуді портенциалдар үшін центрі координаталар жүйесінен қандай да бір ерекше нүктеге ығысқан өріс ретінде қарастырайық.Бұл жағдайда толқындық теңдеу мына түрде жазылады:

d²ϑ/dr² + 2/r*dϑ/dr–1/c² * d²ϑ/dt² = 0 (10)

Бұл теңдеуді мына түрге келтіруге болады

d² / dr² (r ϑ) – 1/c* d²/dt² (r ϑ) = 0 (11)

Мұндағы: r-тәуелсіз айнымалы, r ϑ= u- функциясы бір өлшемді есептер үшін толқындық теңдеу болып табылады.

Олай болса (3)-ші формулаға сәйкес

r ϑ =ƒ₁(t ̵ r/c) + ƒ₂(t + r/c) (12)

ϑ = 1/r ƒ₁(t ̵ r/c) + ƒ₂(t + r/c) (12*)

(12*)-теңдеу О ерекше нүктеден 1/r – ге пропорционал түрде амплитудасы кеміген (артқан) жүгірме сфералық толқынның теңдеуі болып табылады. Бұл теңдеудің шешімі

φ =φ₀ /r * cos (kr–ωt)

A̅ = A̅₀/r * cos (kr–ωt) (13)

(13)-ші теңдеу сфералық гормоникалық толқынның теңдеуі.

§5.4 Стационар қозғалыстағы зарядтар жүйесінің заряд тығыздығы мен ток тығыздығы уақытқа тәуелсіз болғандыктан

Ρ =ρ (r̅)

J̅= J̅ (r̅) (14)

Бұл жағдайдағы өрістін потенциялдарына уақытқа тәуелді болмайды және бір типті Пуассон тендеулеріне келеді.

∆ φ = ̵ ρ ∕ɛ₀

∆A̅ = ̵ ɱ₀J̅ (15)

Кеңістікті dv₀ элементар көлемшелерге бөліп оны нүктелік заряд деп қарастырайық.Осы кішкене көлемшеге ρdv₀ заряд жинақталсын және ρdv₀=J̅dv₀ ток элементері шоғырлансын.Олай болса Пуассон тендеулерін мына түрде жазуға болады

∆

∆A= ̵ ɱ₀ q υ̅ ϭ(r̅-r̅₀) (16)

∆ (1/ r̅) = ̵ 4 π ϭ (r̅) (*)

(*) теңдеуді (15)-теңдеуге қолданып мынадай теңдеулер алуға болады

d φ=1/4πɛ₀*ρ d v₀ / rꞌ

dA̅=ɱ₀/4π *J̅ d v₀/rꞌ (17)

Суперпазиция принципіне сәйкес бүкіл көлем бойынша зарядтар жүйесі қамтып тұрған көлем бойынща потенциалдарды табу үшін (17)-ші өрнекті интегралдаймыз.

φ = 1/4πɛ₀ ʃ ρ(r̅₀)/rꞌ *dv₀

A̅ = ɱ₀ ʃ J̅(r̅₀)/rꞌ *dv₀ (17*)

(17*) – cтационар жағдайдағы өріс потенциалдарының теңдеуі.

§5.5 Еркінше қозғалған зарядтар үшін өріс теңдеуін шешейік, бұл жағдайда (16)–ші теңдеулер жүйесі былайша толықтырылады

∆ φ-1/с² * δ²φ/δt² = ̵ 1/ɛ₀ * qϭ(r̅-r̅₀)dv₀

∆A-1/c² * δ²A̅/δt² = - ɱ₀ q υ̅ ϭ (r̅-r̅₀) dv₀ (16*)

Қ озғалыс стaционар болмағандықтан заряд және ток тығыздығы

ρ=ρ(r̅, t)

J̅=J̅(r̅, t) (**)

Олай болса элементар көлемнің кеңістіктегі тудырған өрісі үшін потенциалдардың тендеуі бойынша жазылады.

φ (r̅, t)= 1/4πɛ₀ ʃ ρ(r̅, t - r̅/c)/ rꞌ *dv₀ + 1/4πɛ₀ ʃ ρ(r₀,t + r̅/c)/rꞌ * dv₀

A(r̅, t)= ɱ₀/4π ʃ J̅(r₀, t - r̅ ꞌ/c)/ rꞌ * dv₀ + ɱ₀/4π ʃ J̅(r̅₀,t + r̅ ꞌ/c)/rꞌ *dv₀ (18),

(18)-ші теңдеулер жүйесіндегі бірінші құраушылар кешігуші потенциалдар деп аталады.Ал екінші құраушылар озуші потенциалдар деп аталады.Яғни

A(r̅, t)= ɱ₀/4π ʃ J̅(r₀, t - r̅ ꞌ/c)/ rꞌ * dv₀ (18*) – кешігуші потенциалдар,

φ (r̅, t)= 1/4πɛ₀ ʃ ρ(r̅, t + r̅/c)/ rꞌ *dv₀

A(r̅, t)= ɱ₀/4π ʃ J̅(r₀, t + r̅ ꞌ/c)/ rꞌ * dv₀ (18**) – озуші потенциалдар.

Басқа да мынадай жағдай болуы мүмкін электрлік өрісті тудырушы зарядтар жүйесі нүктелік заряд түрінде қабылданып, ол координа басына орналаспаған. Бұл жағдайда еркін электрон өрісті цетрлік симметрияны өріс деп қарастырып электромагниттік өрісті сфералық координаталар жүйесінде қарастыру ыңғайлы. Олай болса сфералық координаталар жүйесінде толқындық теңдеуді потенциалдар үшін центрі координаттар жүйесінен қандай да бір ерекше нүктеге ығысқан өріс ретінде қарастырайық. Бұл жағдайда толқындық теңдеу мына түрде жазылады:

Бұл теңдеу мына түрге келтіруге болады:

мұндағы r-тәуелсіз айнымалы r = функциясы бір өлшемді есептер үшін толқындық теңдеу болады. (3)-ші формулаға сәйкес

( ) теңдеу ерекшеліктері 1-ге пропорционал түрде кеміген r немесе артқан жүйпте сфералық толқынның теңдеуі болып табылады. Бұл теңдеудің шешімі:

A= cos(k ) (13)

(13)-теңдеу сфералық гармониялық толқынның теңдеуі.

5.4 Стационар қозғалыстағы зарядтар жүйесінің заряд тығыздығы мен ток тығыздығы уақытқа тәуелсіз болғандығы:

=

= (14)

Бұл жағдайны өрістің потенциалдығы да уақытқа тәуелді болмайды. Пуассон теңдеуіне келеді:

Кеңестікте d элементар көлемшелерге бөліп, оны нүктелік деп қарастырайық. Осы кіші көлемшелерге d заряд жинақталсын және ток элементтері шоғырланған = ϑ. Олай болса Пуассон теңдеулері мына түрде жазуға болады:

dU=

(16)

-4 (*)

(*)-теңдеуді (16)-теңдеуге қолданып мынадай теңдеулер алуға болады:

dU=

d = (17)

Суперпозиция принципіне сәйкес бүкіл көлем бойынша зарядтар жүйесі қамтып тұрғанды табу үшін (17)-өрнекті итегралдаймыз:

U=

A= (17*)

Cтационар күйдегі өріс потенциалы.

Вакумдегі стационар электр өрісі жане магнитостатикалық өріс.

6.1. Стационар өрістің ерекшеліктері. Электр өрістің және магнитостатикалық өрістің теңдеулерінің потенциалдар арқылы жазылуы.

6.2.Зарядар жүйесінен алыс қашықтықтағы электр өрісі.

6.3.Сыртқы магнит өрісінде қозғаған зарядтар жүйесінің энергиясы. Жүйеге әсер етуші куш.

6.4.Сыртқы электромагниттік өрістегі қатаң зарядтар жүйесіне әсер етуші күштер.Зарядтардың әсерлесу энергиясы жане электромагниттік өріс энергиясы.

7.1 Тұрақты токтың магнит өрісі

7.2 Био – Савар Лаплас эаңы

Ток тығыздығының таралуы белгілі болса

Біртекті, изотропты шексіз арта үшін

(7.2)

( 7.2)- шешімі (7,3) вакуумді

болатын

Өткізгіштен тек ауқатта . Бірақ жүйеде феррамагнетиктік денелер болмаса, кеңістіктің жерінде бірдей ден саналады. Жүйеде феррамагнетиктік дене болған жағдайда (7,3) – өрнек мағынасын жоғалтады.

Сызықты өткізгіштер жағдайында:

(7.4)

- Өткізгішті қоршаған ортаның магнит өтімділігі

(7,4)-сызықты өткізгіштің барлық сипаттамалары түсін қалды (мыс: ток тығыздығы) сызықты өткізгіш сымның магниттiк қасиеттері магнит өрісінің шамасына әсері жоқ.

Вектор – потенциалдың анықтамасынан:

немесе

(7.5)

(7.5) – өрнек біртекті,изотроты орта үшін, Био – Савар заңы деп аталады. Вакуумдығы ден ортадығы магнит өрісі индукция векторы есе артық - ортадағы магнит керек вектор Био – Савар Лаплас эаңы ның диференциалдық түрі