Дифференциалдық теңдеулердің жіктелуі

Есептеуші үшін дифференциалдық теңдеулерді жіктей білу маңызды, өйткені, шешімнің сандық әдісін таңдау осы жағдаймен тығыз байланысты. Дифферен-циалдық теңдеулерді бірнеше белгілері бойынша жіктеуге болады. Олардың ішіндегі маңыздыларына тоқталып өтейік.

Егер дифференциалдық теңдеудегі белгісіз функция бір ғана айнымалыға тәуелді болса, онда мұндай дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер дифференциалдық теңдеудегі белгісіз функция бірнеше айнымалыға тәуелді болса, онда мұндай дифференциалдық теңдеу дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Мысалдар.

Құбырдағы сұйықтың стационар бірөлшемді ағысы қарапайым дифференциалдық теңдеумен сипатталады:
, (1.1)

өйткені, u(x) белгісіз функциясы бір ғана х айнымалысына тәуелді.

Құбырдағы сұйықтың стационар екіөлшемді ағысы дербес туындылы дифференциалдық теңдеумен сипатталады:

. (1.2)

Мұндағы u(x, у) белгісіз функциясы екі айнымалыға тәуелді: х және у.

• 
  Реті
  

Мысалы, (1) теңдеу – І ретті, ал (2) теңдеу - ІІ ретті. ІІ ретті теңдеуді жалпы жағдайда мынадай түрде көрсетуге болады:

ІІ ретті теңдеулер келесі түрге жіктеледі:

(1.2) ІІ ретті теңдеуі параболалық теңдеу болып табылады (оны (1.3) түрге келтіріп, В²-4АС өрнегінің неге тең болатындығын анықтау арқылы тексеріңіз).

Эллипстік теңдеудің мысалы ретінде q(x,y) жылулық көзден температураның стационар таралуын бейнелейтін Пуассон теңдеуін айтуға болады (q(x,y)>0 болғанда (x,y) нүктесінде жылу бөлінеді, ал q(x,y)<0 болғанда жұтылады):

. (1.4)

Гиперболалық теңдеудің мысалы ретінде тербелістер теңдеуін келтіреміз:

Айнымалы коэффициенттері бар тағы бір теңдеуді қарастырайық:

Мұндағы А=x, В=0, C=1, сәйкесінше, В²-4АС=-4х. Бұл мысал айнымалы коэффициенттері бар теңдеудің түрі нүктеден нүктеге дейін өзгеретіндігінің айқын дәлелі: х<0 болғанда (1.6) теңдеу эллипстік болады, ал х=0 болғанда (1.6) теңдеу параболалық болса, х>0 болғанда (1.6) өрнек гиперболалық болады.

Сызықты деп құрамындағы тәуелді айнымалы мен оның барлық туындылары өзара сызықты байланысқан дифференциалдық теңдеуді айтады, оған қоса олар бір-біріне көбеймейді, дәрежеге шығарылмайды, трансцендентті функцияның аргументі бола алмайды және т.с.с.

Мысалы, (1.4)-(1.6) теңдеулер сызықты болса, (1.1)-(1.2) теңдеулер – бейсызықты (неге екенін түсіндіріңіз). (1.3) теңдеу сызықты деп аталады, егер A, B, C, D, E, F коэффициенттері f белгісіз функциясына және оның туындыларына тәуелді болмаса.

Жылуфизикалық құбылыстар мен процестерді сипаттайтын теңдеулердің көпшілігі бейсызықты болады.