Информатика

Екілік санды ондық жүйеге ауыстыру

• x

• 0

• 1

• 2

• 3

• 1

• 0

• 1

• 1

• &

• 1

• 2

• 0

• +

• 0

• 2

• 1

• 1

• +

• 2

• 2

• +

• 1

• 2

• 3

• 1

• +

• 4

• +

• 8

• =13

• x

• x

• x

• Екілік санау жүйесін ЭЕМ жасаушы инженер-конструкторлар ойлап шығарды деген жаңсақ пікір. Екілік санау жүйесін компьютерлердің пайда болуынан көп уақыт бұрын (XVII-XIX ғасырлар) математиктер мен философтар ойлап шығарған.
• Атақты неміс ғалымы Лейбниц былай деп жазған: «Екілік сандармен есептеу – ғылым үшін негізгі болып табылады және жаңа ғылыми жаңалықтар ашуға жол береді... Сандарды 0 мен 1 сияқты қарапайым түпнегізге келтіргенде, барлық жерде таңғажайып тәртіп пайда болады». Кейіннен қолданыс таппаған екілік жүйе ұмытылды, тек қана 1936-1938 жылдары электронды схемаларды құрастыру кезінде американдық инженер-математик Клод Шеннон оған керемет қолданыс тапты.
• Екілік санау жүйесінің негізгі жағымды жағы - аппараттық қолданысқа барынша ыңғайлы арифметика амалдарының орындалу қарапайымдылығы. Екілік санау жүйесі компьютерге ыңғайлы болғанымен, адам үшін жазылуының ұзындығы мен еске сақтауғақиындығынан қолайсыз.

• 1950-70 жылдарда бағдарламалауда кең қолданылған.
• Сегіздік санау жүйесі санды сегіз цифрдың (0,1,....7.) көмегімен көрсетеді (негізі – 8).
• Мысал:
• 5368= 5*82 + 3*82 + 6*80 = 5*64 + 24 + 6 = 35010
• 53610 = 3508
• 8 саны 2 санының дәрежесі болатындықтан сегіздік санау жүйесін екілік сандарды жазудың ықшам нұсқасы ретінде қарастыруға болады.

• Сегіздік санау жүйесі

• Он екілік санау жүйесі ертеректе кең қолданыста болған. Оның пайда болу тарихы да саусақпен санауға байланысты. Мұнда бас бармақты және қалған төрт саусақтың фалангаларын санаған: олардың саны -12.   
• Он екілік санау жүйесінің элементтері Англияда әлі күнге дейін сақталып қалған (1 фут 12дюйм), 1 шиллинг 12пенс). Бұл санау жүйесімен біз тұрмыста жиі кездесеміз: асханалық және шай сервистерінің саны 12, т.с.с.   

• Он екілік санау жүйесі

• Он алтылық позициялық санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0,1,.....9, және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін мәні ондық 10, 11, 12, 13, 14, 15 цифрларына сәйкес болатын латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері A, B, C, D, E, F қолданылады.
• Мысал, 3Е5А1 санын негіз қосындысы түрінде жазсақ, мынаны аламыз:
• Мысал: ондық жүйедегі 891 санын 16-лық санау жүйесіне көшіру үшін:
• 891 : 16 =55 қалдық 11 (16-лық санау жүйесінде 11=В)
• 55 : 16 = 3 қалдық 7
• 3 : 16 = 0 қалдық 3 Жауабы: 37В16

• Он алтылық санау жүйесі

Вавилондық санау жүйесі

• Алғашқа позициялық санау жүйесі ертедегі Вавилонда (б.ғ. д. 2000 ж.) құрылған, ол негізі 60-қа тең алпыстық санау жүйесі болған. Айта кететіні, уақытты біз осы кезге дейін негізі 60-қа тең өлшеммен есептейміз.Сол сияқты шеңберді 360 бөлікке бөлеміз.

• алпыстық санау жүйесі

• Екілік арифметика ережесі
• 1. Қосу : 2. Азайту :
• 1+1=10 1-1=0
• 1+0=1 1-0=1
• 0+1=1 0-1=1
• 0+0=0 0-0=0

Негіздері q=2, q=8 және q=16 болатын санау жүйелері арасындағы байланыс екі теорема арқылы анықталады.

Теорема 1. Негізі q=2n болатын санау жүйесінде бүтін екілік санды жазу үшін, берілген екілік санды оңнан солға қарай (ең кіші разрядынан үлкеніне қарай) әрбірінде n цифр болатындай топтарға (грани) бөлу керек. Одан кейін осы топтың әрқайсысын n разрядты екілік сан ретінде қабылдап оны негізі q=2n болатын санау жүйесінің цифры етіп жазу.

• Мысал: 101100001000110010 екілік санын оған сәйкес келетін 8-дік санау жүйесінің (басқаша айтқанда негізі q = 23 ) санымен ауыстыру.
• 101 100 001 000 110 010
• 5 4 1 0 6 2
• Сонымен, екілік 101 100 001 000 110 010 саны
• сегіздік санау жүйесінде 541 062

Теорема 2. Негізі q=2n болатын санау жүйесінде жазылған бүтін санды оған сәйкес екілік санау жүйесіндегі санмен ауыстыру үшін, берілген санның әрбір цифырын n разрядты екілік санмен ауыстыру жеткілікті.

• Мысал: 3 5 6 7 сегздік санын өзіне сәйкес екілік санмен ауыстыр
• 3 5 6 7 011 101 110 111 3 5 6 7 - 011 101 110 111
• Сонымен, екілік санды оған сәйкес сегіздік санға ауыстыруды ешқандай есептеулерсіз, механикалық түрде жүзеге асыруға болады.
• 0 1 2 3 4 5 6 7
• 000 001 010 011 100 101 110 111

Сандардың сәйкестік кестесі

• Жазылу масылдары

• Жүйе цифрлары

• Жүйе негізі

• &101011111

• 0 1

• 2

• 351

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

• 10

• #15f

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
• 10 11 12 13 14 15

• 16

• 255 = &11111111 = #ff

Сандарды екілік жүйеден сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне ауыстыру.

• Бүтін екілік санды сегіздік (он алтылық) санау жүйесіне көшіру үшін, оны оңнан солға қарай үш үштен (төрт төрттен) топтап, жетпеген орындары болса нольмен толтырып, сонан соң әрбір топтың орнына оның сегіздік (он алтылық) эквивалентін қою қажет.
• Мысал: 001 101 101 011 екілік саны =1553 сегіздік санына
• 0011 0110 1011 екілік саны =36B он алтылық санына
• Екілік жүйедегі бөлшек санды немесе санның бөлшек бөлігін сегіздік (он алтылық) жүйеге көшіру үшін санды үтірден кейін оң жақ шеткі нуктеге дейін триадаларға (тетрадаларға) бөлу керек. Содан кейін әрбір триадаға (тетрадаға) сәйкес сегіздік (он алтылық) санды жазу керек.
• Мысал: 0,011 101 100 екілік саны =0,354 сегіздік санына
• 0,0111 0110 екілік саны =0,76 он алтылық санына

Екілік цифрлардың үштік топтарын – триада деп атайды.

• Мысал 13.
• Екілік 1100101101 санын үштен топқа бөлгенде, 001 100 101 101 сияқты жазуға болады және әрбір топты сегіздік цифрдың біреуімен ауыстырып жазғанда, 1455 сегіздік санын аламыз.

• Санды екілік санау жүйесінен сегіздік не он алтылық жүйеге ауыстыру үшін, кестені пайдаланамыз:

Цифр- лар	8-дік с.ж	16-лық с.ж.
0	000	0000
1	001	0001
2	010	0010
3	011	0011
4	100	0100
5	101	0101
6	110	0110
7	111	0111
8		1000
9		1001
A		1010
B		1011
C		1100
D		1101
E		1110
F		1111

• Мысал, санды екілік жүйеден сегіздік жүеге ауыстырайық

• 11111000100

• Оңнан солға қарай үш үштен бөлеміз

• Бір ноль жетіспегендіктен, бір ноль қосып жазамыз .
• (егер екеу жетпесе екі ноль қосқан болар едік т.с.с..)

• 0

• Енді кестенің көмегімен жауабын жазамыз.
• Мысалы, екінші бағандағы 011 саны, біріншідегі
• 3 санына сәйкес (эквивалентті)
• сол сияқты 111 = 7; 000 = 0; 100 = 4

• жауабы:
• (11111000100)2 = (3704)8

Санау жүйелеріндегі түрлендірулер.

• Компьютер екілік кодтармен жұмыс жасайды. Ал пайдаланушы ондық, он алтылық кодтармен жұмыс жасайды. Сондықтан қандай бір q негізді санау жүйесіндегі А санын р негізді санау жүйесіндегі А санына түрлендіру және кері түрлендірулер қажет болады.
• Мұндай түрлендірулер негізгі екі әдіспен жүзеге асады:
• ауыстыру ережелері арқылы;
• бөлу, көбейту ережелері арқылы.
• Ауыстыру ережесі бірінші формуланың көмегімен жүзеге асырылады және көбінесе, ондық емес санау жүйесінен ондық санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Ауыстыру ережесі санның жаңа жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді.
• Бөлу, көбейту ережелері.
• Көбінесе ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Бұл ереже санның алғашқы q негізді жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді. Бөлу ережесі бүтін санды түрлендіру үшін, көбейту дұрыс бөлшек санды түрлендіру үшін қолданылады.

Б ө л у е р е ж е с і.

• Ол үшін берілген q негізді санды және шығатын бөлінділерді р негізіне тізбектеп бөлу қажет. Бөлуді бөлінді р негізінен кіші болғанша жалғастыру қажет. Санның жаңа р негізді жүйедегі орнын алу үшін ең соңғы бөліндіден бастап, бөлуге кері бағытта қалдықтарды тізбектеп жазу қажет.

Ондық жүйедегі бүтін санды немесе санның бүтін бөлігін екілік жүйеге көшіру үшін, бөлінді 0-ге немесе 1-ге тең болғанша бөлу керек. Ең соңғы бөліндіден бастап, қалдықтарды тізбектеп кері бағытта жазғанда шыққан сан – берілген санның екілік жүйедегі коды болып табылады.

• Мысал: 25/2=12 (қалдық 1)
• 12/2=6 (қалдық 0)
• 6/2=3 (қалдық 0)
• 3/2=1 (қалдық 1)
• 1/2=0 (қалдық 1)

• 2510=110012

Ондық 25 санын екілік санау жүйесіне көшіру

• 1

• 12

• 24

• 2

• 25

• 0

• 6

• 12

• 2

• 0

• 3

• 6

• 2

• 1

• 1

• 2

• 2

• 25 = &11001

• Тексеру:
• 1* 24 + 1*23+ 0*22 + 0*21 + 1*20 =
• 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 =
• 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

Өз бетімен аударуға

• 0

• 9

• 18

• 2

• 18

• 1

• 4

• 8

• 2

• 0

• 2

• 4

• 2

• 0

• 1

• 2

• 2

• 18 = &10010

• Тексеру
• 1* 24 + 0*23+ 0*22 + 1*21 + 0*20 =
• 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 =
• 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18

• 149 санын ондық
• санау жүйесінен
• екілік санау
• жүйесіне көшіру

• Мысал қарастырайық

149	2
148	–74	2
1	74	–37	2
	0	36	–18	2
		1	18	–9	2
			0	8	–4	2
				1	4	–2	2
					0	2	–1	2
						0	0	0
							1		үлкен разряд
(10010101)2=(149)10				 жауабы

149	2
148	–74	2
1	74	–37	2
	0	36	–18	2
		1	18	–9	2
			0	8	–4	2
				1	4	–2	2
					0	2	–1	2
						0	0	0
							1		старший разряд

• 149 санын екіге бөліп 74 санын аламыз, қалдық 1

• 74 санын екіге бөліп 37 санын аламыз, қалдық 0

• Осылайша бөлетін сан қалмағанша
• бөлуді жалғастырамыз

• Жауабы:
• (10010101)2=(149)10

• Қалдықта қалған сандарды ең
• соңынан бастап жазамыз

• Чтобы число из двоичной системы перевести в восьмиричную или шестнадцатиричную, нужно воспользоваться таблицей:

цифры	8-ая с.с	16-ая с.с.
0	000	0000
1	001	0001
2	010	0010
3	011	0011
4	100	0100
5	101	0101
6	110	0110
7	111	0111
8		1000
9		1001
A		1010
B		1011
C		1100
D		1101
E		1110
F		1111

• Например, переведем число из двоичной
• системы в восьмиричную:

• 11111000100

• Справа налево отсчитаем по три цифры

• Одной не хватает, поэтому дописываем один нолик.
• (если бы не хватало двух, дописали бы два ноля и т.д.)

• 0

• Теперь с помощью таблицы записываем результат.
• Например, 011 во втором столбике эквивалентна 3
• в первом; 111 = 7; 000 = 0; 100 = 4

• Ответ:
• (11111000100)2 = (3704)8

• 11111000100

• 0

цифры	8-ая с.с	16-ая с.с.
0	000	0000
1	001	0001
2	010	0010
3	011	0011
4	100	0100
5	101	0101
6	110	0110
7	111	0111
8		1000
9		1001
A		1010
B		1011
C		1100
D		1101
E		1110
F		1111

• Санды 16-лық санау жүйесіне ауыстыру үшін,осы операцияларды қайталаймыз

• Бірақ бұл жолы сандарды оңнан
• солға қарай төрт төрттен бөлеміз

• жауабы: (7С4)16

Санды он алтылық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру

• x

• 0

• 1

• b

• 4

• #

• 0

• b

• 16

• 1

• 4

• +

• 16

• 1

• +

• 16

• 4

• =75

• x

• x

• 11

• x

2- мысал:

• 4

• 11

• 176

• 16

• 180

• 180 = #b4

• Тексеру
• 11* 161 + 4*160 =
• 11*16 + 4*1 =
• 176 + 4 = 180

• = b

# RGB

• #ff0000

• #00ff00

• #0000ff

• #ffffff

• #b48abe

Әртүрлі санау жүйелеріндегі сандардың сәйкестік кестесі

• 19

• 10011

• 23

• 13

• 18

• 10010

• 22

• 12

• 17

• 10001

• 21

• 11

• 16

• 10000

• 20

• 10

• 15

• 1111

• 17

• F

• 14

• 1110

• 16

• E

• 13

• 1101

• 15

• D

• 12

• 1100

• 14

• C

• 11

• 1011

• 13

• B

• 10

• 1010

• 12

• A

• 10-я

• 2-я

• 8-я

• 16-я

• 9

• 11

• 1001

• 9

• 8

• 10

• 1000

• 8

• 7

• 7

• 111

• 7

• 6

• 6

• 110

• 6

• 5

• 5

• 101

• 5

• 4

• 4

• 100

• 4

• 3

• 3

• 11

• 3

• 2

• 2

• 10

• 2

• 1

• 1

• 1

• 1

• 0

• 0

• 0

• 0

• 16-я

• 8-я

• 2-я

• 10-я

• СҰРАҚ

• Санау жүйесінде
• арифметикалық
• амалдар қалай
• орындалады?

• Екілік санау жүйесінде арифметикалық амалдар
• төмендегі ереже бойынша орындалады:

• 1+1=10
• 1+0=1
• 0+1=1
• 0+0=0

• 1-0=1
• 1-1=0
• 0-0=0
• 10-1=1

• 1*0=0
• 0*1=0
• 0*0=0
• 1*1=1

• Мысал:

• 111001
• +
• 1111
• _______
• 1001000

Домашнее задание

Задача 1

• В бумагах одного чудака найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:   «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте  всего 11 лет  способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей.» Попробуйте разгадать ее.

Задача 2

• Для хранения области экрана монитора размером 256х128 точек выделено 32 Kb оперативной памяти. Количество цветов, максимально допустимое для раскраски каждой точки: 4; 16; 256; 512 ?

• 128
• 256

I=	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N=	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

• 1. Всего точек = 128*256 = 27*28=215

• 2. Всего памяти = 32Kb = 32*210b = 25*210b = 215b

• 3. Памяти на одну точку = 215b / 215 = 1b = 8 бит

• 4. Комбинаций на основании 8 бит = 28 = 256

• ОЙ!

Задача 3

• Досье на сотрудников занимают 8 Mb. Каждое из них содержит 16 страниц (32 строки по 64 символа в строке). Сколько сотрудников в организации: 256; 512; 1024; 2048?

I=	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N=	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

• 1. Символов 1 д. = 16*32*64 = 24*25*26=215

• 3. Всего = 8Mb = 23*220b = 223b

• 4. Кол-во сотр. = 223b / 215b = 28 = 256

• 1 символ = 1b

• 2. Памяти на 1 д. = 215b

• 32
• 64

• страница

• 32
• 64

• страница

• 32
• 64

• страница

• 32
• 64

• страница

• 48
• 64

• страница

• 16

• ОЙ!

• Назарларыңызға
• размет!!!

• Тақырыпты дайындаған:
• информатика кафедрасының доценті
• Кубентаева С.Н.
• С.Аманжолов атындағы ШҚМУ
• 2007 год

• с о ң ы

жүктеу 63,44 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: