§ 78. Жазық және сфералық толқынның теңдеуі

(78.1) 
функциясы 
t
уақытқа қатысты да, 
х, у
және 
2 
координаталарына қатысты да периодты болуы керек. 
/ бойынша периодтылығы g шамасы координаталары 
х,
у, z
болатын нүктелердің тербелісін сипаттауынан көрі- 
нігі тұр. Координаталар бойынша периодтылық бір-бірі- 
нен 
X
қашықтықтағы нүктелердіц 
тербелетіндігінен 
шығады.
Тербеліс гармониялық сипатта болады деп санап, жа- 
зық толқын жағдайындағы £ функциясының түрін таба- 
мыз. Оңайлату үшің координата осьтерін 
х
осі толқын-
ныц таралу бағытымен дәл келе- 
тіндей етіп бағыттаймыз. Онда 
толкындық беттің барлық нүкте- 
сі бірдей тербелетіндіктен, g ығы- 
суы 
х
және / шамаларына ғана 
тоуелді болады:
* 
’ 
l =
х = 0 (195-сурет) жазықтығын- 
да жатқан нүктелердің тербелісі 
төмендегіДей түрде болсын делік: 
|(0, /) 
= а
cos со/. 
х
шамасының кез келген діә- 
ніне сәйкес келетін жазықтықта- 
ғы бөлшск тербелісініц түрін табайық. л: = 0 жазықты- 
ғынан осы жазықтыққа дейінгі жолды жүріп өту үшін, 
толқын
-----ДГ-ІАГ--- : -
195-с урет.
х
V
уақыт жүмсайды, .мұндағы 
v
— толқынпың таралу жыл- 
дамдыгы.
Демек, 
х
жазықтыгында жатқан бөлшектердің тербе- 
лісі, х = 0 жазықтығында жатқап бөлшектердің тербелі- 
сінен уақыт бойынша т шамасына кешігеді, яғни мына 
түрде жазылады:
;(дг, /) =
a
cos о)(/
a
cos u>
Сонымен, жазық толқынның тецдеуі былай жазы- 
лады:
*
a
cos (о
(78.2)
266

(78.2) теңдеуіндегі с, шамасы координатасы 
х
болатын 
кез келген нүктеніц бірінің 
t
уақыт мезетіндегі ығысуы 
болып саналады.
(78.2) формуласын қорытып шыгару кезінде біз бар- 
лык нүктедегі тербеліс амплитудасы бірдей болады деп 
санадық. Жазық толқын жағдайында бұл, егер толқып 
энергиясы ортада жұтылмаса ғана байқалады.
ш 
i^t
= const 
(78.3)
деп алып, (78.2) теңдеуінде тұрған фазаның кейбір мә- 
нін белгілеп алайық.
(78.3) өрнегі 
(і)
уақыт пен фазанын белгіленген мәні 
берілген мезетте жүзеге асатын орын (х) арасындағы
байланысты береді. Осы өрнектен шығатын 
шама-
сының мәнін анықтап, біз фазаның берілген мәңі орын 
ауыстыратын жылдамдықты табамыз. (78.3) өрнегін' 
дифференциалдагі, төмендегіні аламыз:
сіі
---- — 
d x
=
0
,
бұдан
<78-4)
Сонымен (78.2) теадеуіндегі толқынның таралу жыл- 
дамдығы фазаның орын ауыстыру жылдамдығы болып 
табылады, осыған орай оны ф а з а л ы к ж ы л д а м 
д ы к деп атайды.
(78.4) өрнегінен толкын жылдамдығы (78.2) оң бола- 
тындығы байкалады. Демек, (78.2) теңдеуі л: шамасының 
өсу жағына қарай бағытталған толқынды сипаттайды. 
Қарсы бағытта таралатын толқынның турі мынадай бо­
лады:
^| = acos «(г
1
+
(78.5)
Шынында, константа (78.5) толкын фазасын теңесті- 
pin және дифференциалдап, төмендегіні аламыз:
бұдан (78.5) толқыны х шамдсының кему жағына карай 
таралатындығы байқалады.
267

Жазық толқын теңдеуін / және 
х
шамаларына кара- 
ранда симметриялы түрде жазуға болады. Ол үшін тол- 
қындық сан деп аталатын 
k
шамасын енгіземіз:
k —
2
*
X
•
(78.6)
(77.1) 
және (78.6) өрнектерінен толқындық сан 
k,
дөңгелектік жылдамдық to және фазалық жылдамдык 
v
арасында төмендегідей қатыс болатындығы шығады:
(78.2) 
теңдеуіндегі 
v
шамасын оның (78.7) катысын- 
дағ.ы мәнімен алмастырып және жақшаға со шамасын 
енгізіп, жазық толқынның теңдеуін төмендегідей түрде 
аламыз:
% = а
cos(co/ — 
k x
) . 
(78.8)
х
шамасының кему жағына қарай таралатын толқын- 
ның теңдеуі (78.8) теңдеуінен 
kx
мүшесіндегі таңба бо- 
йынша ғана ажыратылады.
Енді сфералық толқынның теңдеуін табайық. Кез кел- 
ген нақты толқын көзінің мөлшері болады. Алайда тол- 
қын көзінен қашықтығы оның мөлшерінен әлдеқайда 
үлкен болатын толқындарды қарастырумен шектелсек, 
онда толқын көзін нүктелік көз деп санауға болады.
Толқын жылдамдығы барлық бағытта таралатын 
бірдей жағдайда, нүктелік көз тудыратын толқын сфера- 
лык болады. Толкын көзінің тербеліс фазасы со/ піама- 
сына тең болса деп жориық. Онда радиусы 
г
толкындык 
бетте жататын нүктелер с
a(t — r/v)
фазамен тербеледі 
(г
жол жүру үшін толқын 
x — r/v
уақыт жүмсайды) Бұл 
жағдайда тербеліс амплитудасы, толкын энергиясы ор- 
тада жұтылмаған күннің өзінде, тұрақты болып кал ман­
д ы — ол толқын көзінен қашықтаған сайын 
\/г
зацы 
бойынша кемиді (82-параграфты караңыз) Дсмек, сфе- 
ралық толқынның тендеуі мына түрде жазылады:

жүктеу 28,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: