Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

жүктеу 1,16 Mb.

бет	5/11
Дата	09.06.2023
өлшемі	1,16 Mb.
	#42937

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешуін екі əдіспен де көрсет.

1) Жауабы:

2) (2x + ye^xy )dx + (1+ xe^xy )dy = 0 Жауабы: x² + y + e^xy= C
3) sin (x+y) dx+xcos(x+y)(dx+dy) =0 Жауабы: x sin (x + y)= C
4) dx +(y³ + ln x)dy = 0 Жауабы: 4 y ln x + y⁴ = C
5) 2x(1+ )dx − dy = 0 Жауабы: x² +2/3 (x² − y)^3/2= C

Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап.

6) (x ² − 3 y ² )dx + 2 xydy = 0 Жауабы:
7) (sin x + e ^y)dx + cosx dy = 0 Жауабы: =e⁻^y; e⁻^y cosx=C+x
8) (xsiny+ y)dx+(x²cosy+xlnx)dy=0 Жауабы:
9) (x ² − y )dx + xdy = 0 Жауабы:
10) 2xtgydx+ (x²− sin y)dy = 0 Жауабы:

Үй жұмыстары
Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешілуін екі əдіспен де көрсет.
11) 3х²(1+lny)dx=(2y-x³/y)dy Жауабы: x³ + x ³ ln y − y ²= C
12) (2 x² y ²+ 7 )dx + 2 x ³ ydy = 0 Жауабы: x ³y ²+ 7 x = C
13) (e^y + ye^x +3)dx= (2−xe^y −e^x )dy Жауабы: xe^y+ ye^x +3x−2y =C
14) Жауабы: x ³ y + x ² − y ² = Cxy
15) Жауабы: x + arctg = C
16) (2 x ³ − ху ²)dx + ( 2 у ³− х ²у ) dy = 0 Жауабы: х⁴-х²у²+у⁴=С
17) е^уdx+(xe^y-2y)dy=0 Жауабы: хe^y-у²=С
18) yx^y-1dx+x^y lnxdy=0 Жауабы: х^y =С

Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап.

19) dx +(y ³ − ln x)dy = 0 Жауабы:
20) y(1 + xy )dx − xdy = 0 Жауабы: x ² +
21) (e ²^x − y ²)dx + ydy = 0 Жауабы: =e^−2х; у²=(С-2х)е^2х
22) (1+3x² sin y)dx− xctgydy= 0 Жауабы:
23) y ² dx + (yx − 1)dy = 0 Жауабы:
24) (x²+y)dx-xdy=0 Жауабы:
25) (x²+y²+2x)dx+2ydy=0 Жауабы: (x²+y²)e^x=C
26) (xcosy-ysiny)dy+(xsiny+ycosy)dx=0 Жауабы: (xsiny+ycosy-siny)e^x=C

2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті
дифференциалдық теңдеулер

2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y^/) және x = f(y^/) түріндегі теңдеулер.
Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады:

Бірінші теңдеулер үшін:
Алмастыруды қолданамыз:
Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз:

Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз.
x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз:

2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.
Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды:
Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’.

Бұл теңдеуді екенін ескере отырып дифференциалдайық:

Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі болса, ондаЛагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады:

Анықтама. Клеро теңдеуі деп: түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады
Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады: алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді:

Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін:
немесе
Бірінші жағдайда:
Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр.
Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады.
Мысал. теңдеуін шеш.
Шешуі: p = y’делік, сонда болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда: немесе
Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда:
Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады:
Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз:
Бұдан, .
Сондықтан .
у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ.

жүктеу 1,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11