2 Математикалық статистика элементтері
2.1 Дәріс 7. Математикалық статистика пәні және негізгі ұғымдары
Дәріс мазмұны: бас және таңдама жиынтық, таңдау әдістері. Таңдаманың статистикалық үлестірімі. Полигон және гистограмма.
Дәріс мақсаты: математикалық статистика пәнімен және негізгі ұғымдарымен таныстыру.
Математикалық статистика - бұл математиканың бөлімі, ол жалпылама кездейсоқ құбылыстарды бақылау нәтижелерінен алынған тәжірибелік берілімдерді жинау әдістерін, оларды өңдеу және талдауды зерттейді. Ықтималдықтар теориясы математикалық статистика шешетін қолданбалы есептердің теориялық негізі болып табылады.
Жалпы ұғымдар енгізейік. Қандай да бір объектілер жиынтығын сапалы және сандық белгіге бақылау керек болсын. Мысалыға, егер өнімдер партиясы бақыланса, онда сапалы белгі – өнімнің стандартты болуы, сандық белгісі – өнімнің қандай да бір өлшемі.
Анықтамалар.
1. Бас жиынтық деп эксперименттердің (өлшеу, бақылау) барлық мүмкін нәтижелерін жиынын айтамыз.
2. Таңдама жиынтық немесе жәй таңдама деп объектілердің жалпы жиынтығынан кездейсоқ алынған жиынтықты айтамыз.
3. Бас жиынтықтың көлемі деп немесе таңдама көлемі деп осы жиынтықтағы объектілер саны айтылады, белгіленуі N және n.
4. Х белгісін зерттеу үшін бас жиынтықтан n көлемді таңдама алынған болсын. Зерттеліп отырған мәндері варианталар деп аталады.
5. мәні рет бақылансын және де .
саны вариантасының жиілігі, ал қатынасы – осы вариантаның қатысты жиілігі деп аталады.
Белгісіз үлестірім заңын анықтау
Қандай да бір белгісін ( кездейсоқ шамасын) зерттеу үшін n тәуелсіз сынақ жүргізілсін (өлшеу, бақылау). Олардың әрқайсысында шамасы қандай да бір мәндер қабылдасын. Кез келген таңдама аламыз (немесе қарапайым статистикалық қатар):
1 кесте
Зерттеу №
|
1
|
2
|
…
|
варианталар
|
|
|
…
|
Егер таңдаманы өсу ретімен орналастырсақ, онда вариациалық деп аталатын қатар аламыз:
2 кесте
Мұндағы , . Егер вариантасының және қатысты жиілігі болса, онда жиіліктердің статистикалық қатарын (3 кестені қара) және қатысты жиіліктің статистикалық қатарын алуға болады (4 кестені қара), мұндағы :
3 кесте
4 кесте
Практикада үлкен көлемді таңдама кездеседі немесе ізделінді белгі үзіліссіз болады (яғни қандай да бір аралықтың кез келген мәнін қабылдайды). Бұл жағдайда интервалдық статистикалық қатар деп аталатын қатар құрады. Ол үшін бақыланып отырған мәндердің жиынын тең ұзындықты , , және т.с.с. аралықтарына бөледі. ұзындығы мен аралық санын анықтау басты сұрақ болып табылады. Келесі тәсілді қарастырайық: - Стерджес формуласы. Мұндағы - таңдама құлашы; ; - интервалдар саны, яғни . Бірінші интервалдың басы ретінде шамасын алуға болады. Интервалдық қатардың екінші және үшінші жолдарына сәйкес интервалға түсетін бақылау саны (яғни интервалдың варианталарының жиілігінің қосындысы) және интервалдың варианталарының қатысты жиілігінің қосындысы жазылады. Сонымен, интервалдық қатар:
5 кесте
Егер варианта орнына интервал ортасын алсақ, интервалдық қатардан топталған немесе дискретті статистикалық қатар алуға болады (6 кестені қара):
6 кесте
Статистикалық қатарлар (жиілік, қатысты жиілік, жиілік және қатысты жиіліктің интервалдық және дискретті қатарлары) үлестірімнің белгісіз заңының бағасы болады. Бернулли теоремасына сәйкес оқиғаның пайда болуының қатысты жиілігі ықтималдығы бойынша осы оқиғаның ықтималдығына ұмтылады ( ). Қатысты жиіліктің статистикалық қатары қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың эмпирикалық үлестірімі болады деген қорытынды жасауға болады, яғни теориялық кездейсоқ шаманың үлестірім қатарының аналогы болады.
Үлестірімнің геометриялық заңының аналогы – үлестірімнің көпмүшелігін алу арқылы вариациалық қатарды басқаша өңдеуге болады.
3 немесе 4 кесте бойынша координаталық жазықтықта немесе нүктелерін саламыз, сосын оларды кесіндімен жалғаймыз. Алынған фигура жиілік полигоны немесе қатысты жиілік полигоны деп аталады (11 суретті қара).
11 сурет
Статистикада басқа геометриялық құрылымы – гистограмма жиі қолданылады. Қатысты жиілік гистограммасы кездейсоқ шаманың f(x) үлестірімінің дифференциалдық функциясының (тығыздықтың) статистикалық аналогы болып табылады. Мысалы, статистикалық гипотезаларды тексеру есептерінде гистограмманы үлестірімінің теориялық тығыздығының графигімен салыстырады және қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың үлестірімі туралы болжам жасайды. Гистограмманы салу үшін интервалдық қатарды қолдануға болады. Гистограмма – бұл сатылы фигура, ол табаны интервал ұзындығы, биіктігі немесе болатын тіктөртбұрыштардан тұрады. Бірінші жағдайда жиілік гистограммасын, екіншісінде – қатысты жиілік гистограммасы (12 суретті қара).
12 сурет
Гистограмма ауданы таңдама көлеміне тең , ал қатысты жиілік гистограммасының ауданы бірге тең . Егер қатысты жиілік гистограммасының әрбір сатысында кез келген нүкте алсақ, мысалы ортасын, және осы нүктелерді ирек сызықпен қоссақ, онда f(x) тығыздығының жуық графигін аламыз.
Анықтама.
Үлестірімнің эмпирикалық функциясы деп әрбір х мәні үшін X<x оқиғасының қатысты жиілігін анықтайтын функциясы айтылады, яғни , мұндағы - х-тен кіші варианталар саны; n – таңдама көлемі.
функциясының анықтамасынан қасиеттері функциясының қасиеттерімен бірдей:
а) оның мәндері [0,1] кесіндісінде жатады;
б) ол кемімелі емес;
в) егер - ең кіші варианта, ал - ең үлкен варианта болса, онда ; .
Бернуллидің үлкен сандар заңы бойынша оқиғаның пайда болуының қатысты жиілігі ықтималдығы бойынша осы оқиғаның ықтималдығына ұмтылады, яғни , олай болса . Сонымен, үлестірімнің эмпирикалық функциясы үлестірім функциясының теориялық (интегралалдық) бағасы болып табылады.
функциясын құру үшін қатысты жиіліктің статистикалық қатарын қолданамыз:
немесе .
-тің графигі сатылы үзілісті сызықтар болады, секірістер бақыланып отырған мәндерге сәйкес келеді және осы мәндердің қатысты жиілігіне тең (13 суретті қара).
13 сурет
Егер таңдама көлемі үлкен немесе ізделінді белгі үзіліссіз болса, онда варианта орнына интервалдық статистикалық қатардағы интервалдардың шекарасын алуға болады. және екенін ескерсек, координаталық жазықтықта , , …, , … , нүктелерін кесінді арқылы немесе ирек сызықпен жалғайды. Бұл сызық үлестірім теориялық функциясының жуық графигі болады (14 суретті қара).
14 сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
