Беттің -ші беті Қазақстан республикасының білім және ғылым министрлігі

Мазмұны

1. 
   ДӘРІСТЕР
   

Дәріс жоспары

Дәрістің мазмұны

2. Параллель проекция

3. Ортогональ проекция
1. Центрлік проекция

Егер барлық проекциялаушы сәулелер тек бір нүкте (центр) арқылы өтетін болса, онда проекция центрлік деп аталады.

Кеңістікте проекциялар жазықтығы П және онда жатпайтын S нүктесі берілген болсын (1-чертеж). S нүктесін проекциялар центрі деп атайды.

А нүктесінің проекциясын Р жазықтығына түсіру үшін, берілген А

нүктесі және проекциялар центрі S арқылы П жазықтығымен қиылысқанша SА түзуін жүргеземіз. SА түзуі П жазықтығымен а нүктесінде қиылыстын болсын деік. Сонда, а нүктесін А нүктесінің П жазықтығында центрлік проекциясы дейді.

Егер барлық проекциялаушы сәулелер өз ара параллель болса, онда проекция деп аталады.

Параллель проекцияны салу үшін алдын ала проекциялаушы сәулелер бағытын білу қажет.

Сондықтан нүктенің (А) параллель проекциясы (а) деп проекциялау бағытын анықтайтын түзуге (L) параллель етіп жүргізілген проекциялаушы сәуленің (Аа) проекция жазықтығымен (П) қиылысу нүктесін (а) атайды.

Егер проекциялаушы сәулелер өз ара параллель және проекциялар жазықтығымен тік бұрыш жасайтын болса, онда проекция ортогональ проекция деп аталады.

Проекцияның өз ара перпендикуляр үш жазықтығы өз ара қиылыса отырып, проекцияның Х,V және Z үш өсін жасайды. Бұл өстердің қиылысу О нұктесі координаталардынң басы деп аталады. Координаталар берілген нүктелердің Н,V, және W жазықтықтарына дейінгі қашықтықтарын көрсетеді.

1. Центрлік, параллель және ортогональ проекциялар қалай алынады?

2. Параллель,ортогональ проекциялардың қассиеттері неде?

3. Нұктенің проекциясын қалай салады?

Дәрістің мазмұны

1. Жалпы жағдай түзуі. Ерекше жағдай түзуі

2. Өз ара параллель түзулер

3. Өз ара қиылысушы, өз ара айкасушы түзулер
Кеңістікте түзу сызық өзінің екі нүктесімен анықталатын болғандықтан, оның проекцияларын салу осы түзу сызықты анықтайтын екі нүктенің проекцияларын салуға келіп тіреледі.

1. Жалпы жағдай түзуі. Кеністікте проекция жазықтықтанрының барлығына да көлбеу болып келген түзуді жалпы жағдай түзуі деп атайды.

2. Ерекше жағдай түзулері - проекция жазықтықтарының біріне параллель немесе перпендикуляр түзулер.

3. Түзу кесіндісінің проекцияларынің қатынаста бөлу

Параллель проекциялау қасиеттерінің бірінде былай делінген болатын: егер түзу кесінді кеңістікте бір нүктемен белгілі бір қатынаста бөлінетін болса, онда оның проекцияларымен сол қатынаста бөлінеді.
Өзінді тексеруге арналған сұрақтар

1. Қандай түзу жалпы жағдай түзуі деп аталады?

2. Қандай түзу горизонталь түзуі деп аталады?

3. Қандай түзу фронталь түзуі деп аталады?

1. Өз ара параллель түзулер, өз ара қиылысушы, өз ара айқасушы түзулер

2. Түзу кесіндінің нақты ұзындығы мен проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау.

3. Түзу кесіндісінің нақты ұзындығын анықтау

1) өз ара параллель болуы, яғни бір жазықтықта жатулары мүмкін. Параллель түзулердің бір есімді проекциялары өз ара параллель болады.

2) өз ара қиылысуы, яғни олардың бір ортақ нүктесі болуы мүмкін

3) өз ара айқасулары, яғни бір жазықтықта жатпаулары мүмкін.

Параллель түзулердің бір есімді проекциялары өз ара параллель болады.

Егер кеңістікте екі түзу өз ара қиылысатын болса, онда олардың бір есімді проекциялары да өз ара қиылысатын болады және қиылысу нүктелері проекция өсіне жүргізілген бір перпендикулярдың бойына орналасады.

Егер кеңістікте екі түзу өз ара параллель болмаса және өз ара қиылыспайтын болса, онда мұндай түзулерді айқасушы түзулер деп атайды.

Айқасушы түзулердің бір есімді проекциялары эпюрде қиылыса алады, бірақ қиылысу нүктелері проекция осіне жүргізілген бір перпендикулярдың бойында жатпайды.
Тік бұрыштың проекциялау теоремасы
Егер тік бұрыштың бір қабырғасы проекция жазықтығына параллель болса онда тік бұрыш осы жазықтықта нақты шамасымен проекцияланады.
Түзу кесіндісінің нақты ұзындығы мен проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау
П₁ және П₂ жазықтықтары системасында жалпы жағдай АВ кесіндісі берелді дейік. А нүктесі арқылы кесіндінің ab проекциясына параллель етіп, АВ₁ түзуін жүргізейік. Бұдан АВ₁В тік бұрышты үшбұрыш шығады. АВ кесіндісі осы үшбұрыштың гипотенузасы, ал оның бір қатеті АВ₁=ab, екінші катеті ВВ₁=Bb-B₁b=Bb-Aa=bb_x-aa_x=bb₁ , яғни В және А нүктелерінің П₁ жазықтықтығына дейінгі қашықтықтарының айырымына (Z_B - Z_A) тең болады. Олай болса, кесіндінің нақты ұзындығын тікбұрышты үшбұрыш салу арқылы анықтыуға болады. Үшбұрыштың бір катеті кесіндінің горизонталь проекциясы ab-ға, ал екінші катеті bb₁ кесіндісіне тең, яғни ВВ₁=Z_B-Z_A=bb_x-aa_x болуы керек. Сонда АВ кесіндісімен анықталады.
Нұктелер проекцияларының көріну және көрінбеу шарттары
Айқасушы түзулердің бір есімді проекцияларының өз ара қиылысу нүктелері осы нүктелер арқылы жүргізілген проекциялаушы сәулелер мен берілген түзулердің қиылысу нүктелерін анықтайды.

Мысалы, АВ және CD түзулерінің ( - сызуда) К және Е нүктелері П₁ жазықтығына түсірілген перпендикуляр (сәуле) бойына, ал U және F нүктелері П₂ жызақтығына түсірілген перпендикуляр бойына орналасқан. Осындай нүктелердің (әр жұбындағы, мысалы, К,Е немесе U, F) қайсысының проекция жазықтығынан алысырақ орналасқандығын, яғни көретіндігін оңай аңықтауға болады.

Кескіндер неғұрлым көрнекі болу үшін, әдетте, көрінетін контурлар проекциялары тұтас, ал көрінбейтіндері штрих сызықпен жүргізіледі.

Геометриялық элементтер проекцияларының көріну және көрінбеу шарттарын қарастырайық.

(- сызуда) проекциялаушы түзулер бойына орналасқан бірнеше нүктелер берілген. Горизонталь проекциялаушы түзу бойына үш нүкте (А,В, және С), фронталь проекциялаушы түзу бойына екі нүкте (Е және F) орналасқан.

Проекциялаушы түзулердің бірінде жатқан осындай нүктелер көріну жөнінен бәсекелес нүктелер деп аталады. Егер кескінделетін элементттерді мөлдір деп есептесек, онда көру сәулелерінің бағыты проекциялаушы түзулер бағытымен қосылып кетеді. Сонда көру сәулесінің бірінде жатқан нүктелердің бізге жақын орналасқаны көрінетін нүкте, ал қалғандары, бізден алысырақ жатқан нүктелер, көрінбейтін нүктелер болып есептеледі. А нүктесі басқа нүктелерге қарағанда (В және С) Н жазықтығынан алыстау орналасқан. Сондықтан А нүктесі (П₁-қа қарай қарағанда) көрінеді де, В және С нүктелері көрінбейді.

Фронталь проекциялаушы түзудің бойына орналасқан нүктелердің ішінен Е нүктесі көрінетін ( П₂ қарай қарағанда), ал F нүктесі көрінбейтін болады. Өйткені Е нүктесі П₂ жазықтығына F нүктесінен алысырақ орналасқан.
Өзінді тексеруге арналған сұрақтар

1. Қандай жағдайда түзу сызықтың проекциясы нүкте түрінде кескінделеді?

2. Ерекше жағдай түзулеріне қандай түзулер жатады?

3. Қандай жағдайда түзу кесіндінің проекциясының ұзындығы осы кесіндінің нақты ұзындығына тең болады?

1. Жазықтық. Жалпы жағдай жазықтықтар

2. Ерекше жағдай жазықтықтар

3. Жазықтықтың ерекше түзулері

Сызба геометрияда жазықтық кеңістікте мынадай тәсілдермен анықталады:

1. 
   бір түзу бойында жатпайтын үш нүкте арқылы;
   
2. 
   түзу және осы түзуден тысқары алынған нүкте арқылы;
   
3. 
   өз ара қиылысқан екі түзу арқылы;
   
4. 
   өз ара параллель екі түзу арқылы.
   

1. 
   Жалпы жағдай жазықтықтары;
   
2. 
   Ерекше жағдай жазықтықтары.
   

Жалпы жағдай жазықтығы деп проекция жазықтықтарның бәріне де көлбеу болып келген жазықтықты атайды. Мұндай жазықтық (кеңістікте де, эпюрде де) проекция өстеріне (Х,У,Z) көлбеу болып орналасады.

Проекция жазықтықтарының біріне параллель немесе перпендикуляр болып келген жазықтық ерекше жағдай жазықтығы деп аталады.
Ерекше жағдай жазықтықтарының мына төмендегідей түрлері бар:

1) П₁ жазықтығына перпендикуляр (- сызу). Бұл жағдайда П жазықтығы горизонталь проекциялаушы жазықтық деп аталады.

1. Жазықтықтағы түзудің проекциялары. Жазықтықта жатқан түзу сызықтың проекцияларын салу элементар геометрияның бізге белгілі ережесіне негізделген: егер түзудің жазықтықпен екі ортақ нүктесі немесе бір ортақ нүктесі болып, осы жазықтықта жатқан кез келген бір түзуге параллель болса, онда түзу жазықтықта жатады.

Жазықтықтың ерекше түзулерді деп осы жазықтықта жатқан және проекция жазықтықтарының біріне параллель түзулерді атайды. Олар мынадай төрт бағытта болады:

- горизонталь;

- фронталь;

- профиль түзуі;

- ең үлкен көлбеу түзу.

1. Жалпы жағдай жазықтықтары деп қандай жазықтықтарды айтады?

2. Ерекше жағдай жазықтықтары деп қандай жазықтықтарды айтады?

3. Қандай жазықтықтарда ерекше түзулер бар?

1. Жазықтық пен түзу сызықтың қиылысуының алгоритмі

2. Түзу мен жазықтықты салу

3. Бәсекелес нүктелері

а) қосылып жатуы мүмкін;

б) өз ара параллель болуы мүмкін;

в) өз ара қиылысуы мүмкін.

1. Өз ара параллель жазықтықтар. Элементтар геометрияда екі жазықтықтың өз ара параллельдігінің мынадай негізі белгісі дәлелденген: егербір жазықтықтың (Р) өз ара қиылысқан екі түзуі (АВ және АС) екінші жазықтықтың (Р) өз ара қиылысқан екі түзуіне (DE және DF) параллель болса, онда мұндай екі жазықтық өз ара параллель болады.

2. Өз ара қиылысушы жазықтықтар. Өз ара қиылысушы жазықтықтарды қарастыруда олардың қиылысу түзуін анықтауға тура келеді. Бұл түзуді берелген жазықтықтарға ортақ екі нүкте арқылы құруға болады. Екі жазықтықтың өз ара қиылысу түзуінің проекцияларыр салу үшін осы жазықтықтарға ортақ екі нүкте проекцияларын салып, олардың ішіндегі аттастарын бастыра түзулер жүргізсе болғаны.
Өзінді тексеруге арналған сұрақтар

1. Жазықтық пен түзудің өз ара қиылысу нүктесін қалай анықтауға болады?

2. Көрінетін көрінетінбейтін бөлімдерін калай анықтаймыз?

3. Екі жазықтық өз ара қалай орналасады?

1. Көріністер

2. Тіліктер

3. Қималар