-дәріс. Фурье қатарлары. Гармоникалық анализ Дәріс сабағының құрылымы

1. 
   Дабылдың математикалық сипаттамасы.
   
2. 
   Фурье қатары туралы негізгі мәліметтер.
   

ƒ1(t) 1(t), (1.1)

мұндағы 1(t) – бірлік функция, ол былай анықталады:

1(t)=_ (1.2)

(2-сурет). Бірлік функция өлшемсіз.

(1.1)теңдеуінен t=0 кезінде х1(t) тек мынадай жағдайда үздіксіз болады:ƒ1(0)=0. Егерде ƒ1(0)=ƒ10≠0 болса, онда t=0 кезіндегі х1(t) функциясы ƒ10-ға тең секіріс болады(3-сурет). (1.2)анықтамасына сәйкес,

t<0 болғанда х1(t)=0 (1.3)

ƒ(t) ƒ1 x1

1

0 t 0 t

2-сурет. Бірлік функция. 3-сурет. Кіріс дабылын қосқандағы секіріс

Қарастырылып жатқан элементтің кірістен шығысқа дейін дабылдың берілуі үшін τ уақыт кетеді. Сондықтан х1(t) дабылмен шақырылған шығыс дабылы t=τ болғанда пайда болады, сондықтан да 1.1 мына теңдеу болады

х2(t-τ)=ƒ2(t)- 1(t-τ) (1.4)
Мұндағы ƒ2(t)- шығыс дабылының уақытқа байланысты сипаттаушы функциясы. Кешігуші бірлік функция 1(t-τ) 1.4-суретінде көрсетілгендей түрге ие 1(t-τ)

4-сурет
t=τ болғанда х2(t)функциясы ƒ2τ секірісіне ие болады, егер ƒ2(τ)= ƒ2τ ≠ 0 (5-сурет). τ өлшем бірлігін таза немесе транспорттық кешігу уақыты деп атайды.

Сигнал теңдігі сипаттаушы және бірлік функциясы арқылы сигналды автоматикалық жүйенің қабылдайтың және беретін(выдающий) элемент қимылымен біріктіре алады. Сипаттаушы функция уақыттың барлық мезеттерінде бола алады. Қандай да бір элементке әсер ететін сигнал бұл элементке қосылған кезден бстап оның бойында бола алады. Шығыс сигналы тек осы осы элемент шығыста пайда болған кезден бастап бола алады. Дәл осындай сигналдар басқару процесстерін оқығанда қарастырылады. 1.2 және 1.4 теңдіктері қосылғаннан кейінгі ұзақтылығы шектеусіз сигналдарды ұсынады. Әдетте басқару процесстерінде сигналдар соңғы уақытқа дейін ғана жұмыс жасай алады. Сондықтан кейбір есептерде сигналдарды осы теңдеумен сипаттау жеткіліксіз, сигналдардың толық математикалық сипаттамаларын, яғни оның тек пайда болуы мен қосылуын ғана көрсетпей, оның жойылуы мен өшуін де көрсететің теңдіктерді білу қажет.

t=0 болғанда қосылып және t=Тс болғанда өшетін кіріс сигналдарын қарастырайық:

(6-сурет). Бұндай сигнал бірлік функциялардың әртүрлілігінің көмегімен көрсетіледі

1(t)-1(t-Tc),

Яғни x1(t) = ƒ1(t)[1(t)-1(t-Tc)]. (1.5)

(1.1), (1.4)және (1.5) сигнал түрлерін үздіксіз деп атаймыз. Егер Тс уақыты қарастырылып отырған процесстің ұзақтылығынан салыстырмалы түрде кіші болса, онда сигналды импульсивті деп атаймыз. Бұл жағдайда сипатталатың функция импульсивті сигналдың формасын немесе қысқаша айтқанда импульстің формасын анықтайды. Тс аз уақыт аралығына ∆-ға тең болса, импульсивті сигнал оны мынаған тең импульспен сипаттайды:

_

Бұндай импульсті мезетті(мгновенный) деп атайды және ∆ аралығының ортасында пайда болады деп санайды. Импульсивті сигналдар көбінесе бірінен соң бірі Т бірдей уақыт аралығында жүріп отырады. Т уақытын қайталау периоды деп атайды. Осыдан импульсті сигналдардың кезектестігі немесе мезетті импульстердің кезектестігі шығады.

∆ аралығы қайталау периодынан аспайтын кез келген мағынада бола алады. ∆

Егер

ƒ¹(t)=c=const,

х1(t)=c*1(t),

яғни кіріс сигналы бірлік функциясына ұқсас. с=1 болғандағы сигнал бірлік секірме деп аталады.

Реалдық процесстің бірлік функция-сы өзгертілуі мүмкін, егер уақыт Δ өтісімен х₁ 0-ден 1-ге дейін өссе. Ең кіші ұзын-дықтармен салыстырғанда бұл өте кем. Бұл сипаттама аппроксимация кезіндегі зерттудегі қызығушылықты көрсетеді.

Бірінші сигалдың туындысын х₁ қарастырайық. 3.7. суреттегі біркелкі сызық-пен уақытқа байланысиы кескінделген. Бұл туындының графигі 3.8. суретте осындай түрге сәйкес көрсетілген. Реалды тәуелді сигналды белгілеп, уақыттан Δ жерге арқылы F(t) оның бірінші туындысының импульсін анықтайық:

яғни бұл импульс функцияның кез келген бірлігіне F(t), 0-ден 1-ге дейін өзгеретін жердегі кез келген мағынаға Δ тең. Бұл шектеулі өтісте де Δ→0 орынды. Бұл жағ-дайда сигнал бірлік секіріс күйіне өзгеріп, ал оның туындысы t=0 кезінде нолге ұмтылады, бірақ уақыттың басқа көрсеткіштерінде туынды нолге тең болады. Осы жағдайда бірінші туынды функциясының импульсі F(t) өзінің 1-ге тең мәнін сақтап, лездік бірлік импульсіне айналады, ал туындысы F'(t) дельта-функцияға айналады



Лездік бірлік импульс шексіз, себебі:

дельта-функция бірінші туындының бірлік функция бірлескен (оның пайда болу әдісі бойынша).

Енді импульсивті сигналдағы күштің F₁(t) уақыт аралығанда t₀+Δ қарастырайық. Оның импульсі:

немесе осы күйде көрсетуге болады:



F_1орт – уақыт аралығындағы Δ функциясының орташа мәні. Импульс А Δ→0 өзгеріссіз қалуын талап етейік. Сонда Уақыт кезіндегі t₀ әрекет етіп тұрған күшті жазуға Aδ(t-t₀) болады. Себебі 3.8. сурет бойынша осындай нүктенің импульсі А -ға тең. Бұл – импульсі А бар соққы күші. Осылайша туынды Aδ(t-t₀) уақыт кезіндегі t₀ лездік импульстің А басу әрекет ететін күшті білдіреді. Осы жағдайдағы шектеулі қысқалық мынадай мазмұнмен бірлеседі: Бұл соққы күшін береді, оның импульсін және сол импульстің пайда болу уақытын көрсетеді. Егер А=1 болса, онда лездік бірлік импульс орнықты болады.

Лездік импульстың салдарынан пайда болаиын күшті (3.9) ұйғарсақ, онда сол күштер бір-бірінің артынан бірдей уақыт аралығында Т ереді:

_ (3.10)

Сонда пайда болатын күштің әр кезектігін былайша жазуға болады:

Бұл күштің өзі болып табылады. Себебі қатардың әр мүшесі импульске көбейтілген, ал дельта-фукциякері уақытқа тең. Осы қатарлармен көрсетілген күштер уақыт бірлігінде ғана пайда болатын (3.10) көрсетеді, әрбір мәнге n тек бір ғана мүше тиесілі. Сол мүше нолден өзгеше болуы тиіс



Автоматикалық жүйені бақылау кезіндегі, әрине, сигналдар лездік импульс салдарынан пайда болуы мүмкін емес. Ол импульстің соңғы ұзақтығы Δ мен анықталған форманың салдарынан пайда болады. Мысалға 3.9. суреттегі сигнал. Егер импульстің ұзақтығы Δ кішкентай болса, онда бұл оның формасы ретінде жүйенің жұмыс істеу қарқынына бұл жеткіліксіз. Жүйенің элементтері біркелкі әртүрлі формалы қысқа, бірақ бірдей көлемді импульстарға реагировать етеді. 3.9. суреттегі уақыт моментінде Т пайда болған импульс Δƒ(nT) тең. Яғни (3.11) бұл импульс мына мәнге ие:



Кіретін сигнал n=N_c кезінде сөндіріледі.

X₁[n]=f₁[n] {1[n]-1[n-N_c-1]} (3.17)

Түрдiң ескертпе дабылын торлы деп атаймыз.

Байқауымызша ,

f₁[n]=f₁(nT),

Сонымен бiрге түрдiң өрнегiн (3.16)

X[n]=f[n]1[n] (3.18)

тiзбек құрастырылатын лездiк импульстердiң сигналының сипаттамасы ретiнде қарастыруға болады.(3.11).Тiзбектiң әрбiр мүшесiнiң импульсiне сәйкес сигналдың n дискретесiне пропорционал. Әрбiр дистрета өзінің суреттейтiн функциямен модулдалатын лездiк жеке импульстердің мәнi болады.Сондықтан торлы графиктің функциясын сигналдың график түріндегі ұсынысы ретінде , оның өрнегiндегi дельта-функция бар болулар ұшырамайтын тiкелей график түрiнде қарастыруға болады.

Мағыналары тек қана секірулермен өзгеретін барлық сигналдар дискретті деп аталады. Бұған құрастырылатын тiк төртбұрышты импульстермен интервалдағы тұрақты мәндерiн сақтайтын лездiк импульстердiң тiзбектерi,торлы сигналдар,сонымен қатар тузбекті импульс сигналдары жатады. Басқа формада құрастырылған үздікті-іздіксіз дабылдар дискретті-үздіксіз болып табылады. Бірлік функция көмегімен жоғарыда көрсетілгендей, элементтерге қатысты ағымында шектелген уақыттың автоматты жүйелерiнің физикалық шарттарын қарапайым және бірдей сигналдардың сипаттамасын құрайға болады.Мұндай импульсттік сигналдарға дельта-функция көмегімен құрастыруға болады. Автоматты басқарудың есептеріне бұл функцияларының қолдануы бос тұрулармен және әдемi әдiстермен қатал шешiмдер алуға мүмкiндiк бередi.Оны біз төменде көрсетілген мысалда көре аламыз.

Үздiксiз сигналының суреттейтiн функциясы

f(t)=2sin (100t+π/2),

t cекундпен болсын.Сигнал кейбір элементтің автоматты жүйесіне кіруін t=10 сек. кезінде білдіреді.Оның өрнегін мынадай түрде жазып алу керек

x(t)=2sin (100t+π/2)1(t-10)

Уақытты енгізген кезде

t`=t-10,

x(t`)=2sin[ 100(t`+10)+π/2]1(t`).

Екi өрнектерден сигнал қосындылар кезінде секiрiспен көрiнiп қалатынын көруге болады.

2.С уреттейтiн функция импульстердiң тiзбегiн модульдейдi,ұзақтық ∆=0,5сек;қайталама период Т=1сек. Бұл тiзбектiң көмегiмен t уақыттың функциясын айқындауға болады (3.11).

x[n]=[δ(t`-2T)+…+δ(t`-nT)+…]sin[100(t`+10)+π/2].

Бұл тiзбек торлы функциялар формаcында.

1. 
   Нақты сигналдардың өндірісі.
   
2. 
   Фурье түрлендіруі мен интегралының негізгі формулалары.
   

Олардағы оқылатын жүйелерiнiң инерциялылықтары салдарынан динамикалық сипаттың аумалы-төкпелi процесстерi пайда болады. Мұндай үздiксiз жүйелердегi процесстердiң зерттеуi үшiн өндiрiстiк шығу белгiлерi есепке алынады. t=0 функциялар үзiлу немесе бұрыштық нүктелердi иемдене алады. Сондықтан кәдiмгi туындылар бұл жерде қолданбайтын және қорытылған деп аталатын қорытылған туындылармен алмастыруы керек. Функциялар қорытылған туындыны х(t) деп алып,Dx символымен белгілейміз, ал қарапайым туынды функцияны f(t) –штрих дейміз. Шығарманың туындысы ретiнде қорытылған туындыны (3.1)есептей, табамыз[3.4]

t≠0 кезінде δ(t)=0. Оның орнына f(t) –ны f(0) деп жазуға болады.Сол уақытта табатынымыз:

Dx=f``(t)1(t)+f(0)δ(t). (3.19)

Екiншi қорытылған туындыны мұндай өрнекке қорытылған дифференциалдауды операцияны қолдана аламыз.

D²x=f``(t)1(t)+f`(0)δ(t)+f(0)δ`(t),

δ`(t)- дельта-функцияның бiрiншi туындысы. Сонымен бiрге үшiншi қорытылған туындыны табамыз

D³x=f```(t)1(t)+f``(0)δ(t)+f`(0)δ`(t)+f(0)δ``(t),

Реттiң қорытылған туындысы, көрiнгендей алдыңғы өрнектер сияқты болады.

D^kx=f ^(k)(t)1(t)+f`<sup>(k-1)</sup>(0)δ(t)+f`^(k-2)(0)δ`(t)+…+f(0)δ^(k-1)(t), (3.20)

Егер f`^(k-1)(0)=0 болса,онда ереже бойынша дельта-функциядан алатынымыз:

f`^(k-1)(0) δ(t)=0,

ал Dx реттiң L импульстерiнде болмайды.Жеке алғанда f`(0)=0

Dx= f`(t)1(t).

Cигналдың қорытылған туындыларының құлығын қарап шығамыз(3.1),уздіксіз t=0 кезінде.Мұндай уақытта x(0)=f(0)=0.

f(0)=f`(0)=0 болсын, бірақ f``(0)=f<sub>0</sub>``≠0. (3.19) қолдана отырып,табатынымыз,

Dx_t-0=0 ;

Екінші қорытындалған туынды (3.20) бойынша

яғни

Демек, t=0 бiрiншi қорытылған туынды бұрышты нүкте,ал екiншi - секіріс. Үшiншi қорытылған туынды бойынша (3.20) бойынша импульс болады:

Келесi қорытылған туындылардың барлығы биiгiрек ретті импульстерде болады, яғни қорытылған туындылар барлық биiгiрек реттер _ – функциясында.

Егерде _

Бірақ туындының бастапқы қатары (k+1) және жоғары тең емес нөлге, бірақ

(3.20) суретте көрсеткендей, туынды қатары k және төмен t=0 тең нөлге, k ретіндегі туынды қатары бастапқы координаты бұрышты нүкте, k+1-дегі туынды t=0 кезіндегі секіріс, _, туынды қатарында k+2 және жоғарыда импульстан тұрады. Онда x(t) сигналы k жазық қатар. Мысалы:

F(0)=_

Онда t=0, (3.19), Dx=0. Екінші туынды (k+1=2)

Осыдан шығатыны, t=0 болғанда осы туынды _секірісте болады. Үшінші қорытынды туынды

Яғни импульс бар, сондықтан оның t=0 кезіндегі соңғы мәні жайлы айтпау керек, бірақ _ соңғы мәні бар.

Сайып келгенде, (3.1) сигналының туындысын (3, 20) формула бойынша қарау керек қорытылған, және t=0 сигнал үздіксіз және бұрыштық нүктесі жоқ, дегенмен кейбір тізбекте үзік болуы мүмкін немесе импульст болуы, осымен басқа импульстардан ерекшеленеді.

Функцияны қорытынды туындысын іздеу- біртекті операция, кәдімгі интегралдаудан тәуелсіз, ешқай бастапқы шартқа [3.8] тәуелсіз. Қорытындалған туындының маңызды қасиетін дәлелдеу үшін:

Сонда (3.19) шығатыны, _

Ал ол үшін, f(t) функциясы мына шартты қанағаттандыру керек

f(0)=0,





Сонымен, (3.22) туындыдан (3.24) тынды шағады және ол көрсетілген қорытынды туындыны дәлелдейді.

(3.25)



(3.26)



(3.27)

х(t) бірінші қорытынды туындының сигналы ретінде қарап,

Табамыз:

Сәйкесінше (3.15) сурет,



1. Басқару нысаналарының математикалық сипаттамасы