Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі павлодар мемлекеттік педагогикалық институты

 
98 
q 
U 
V 
T 
u
1
  u
2
  u
3
  v
1
  v
2
  v
3
 
t
1
 
t
2
 
t
3
 
18 div 9 = 2  18  1  0  9  0  1  18 mod 9 = 0  1 - 2 0 = 1  0 - 2 1 = -2 
 
9  0  1  0  1  -2 
 
 
 
 
Нәтижесінде аламыз U = (ЕҮОБ(a,b),x,y)) = (9,0,1). 
Тексереміз:  18 0 + 9 1 = 9 = ЕҮОБ(18,9). 
 
10.8 Модулі m бойынша инверсия 
 
Криптографияның көптеген есептерінде берілген с, m сандар үшін іздеп табу керек 
d < m санды, ол үшін  
cd mod m = 1. 
Осындай d болады тек сонда ғана, егер с мен m сандар өзара жай болатын болса. 
cd mod m=1 теңдеуге сай келетін d саны, модулі m бойынша с-ң инверсиясы деп 
аталады  және  жиі  белгіленеді    с
-1
  mod  m.  Инверсия  үшін  берілген  белгіле    cd  mod  m=1 
теңдеуді былай жазуға болатынымен байланысты 
cс
-1
 mod m = 1. 
Сонымен,    модулі  m  бойынша  есептеулерде  с
-1
-ге  көбейту  с-ға  бөлуге  сәйкес 
болады. 
Модулі m бойынша инверсияны Евклидтың жалпыланған алгоритмы көмегімен де 
есептеуге болады.  
Мұны көрсетейік. Төменірек  жазылған теңдеудің мағынасы  – кейбір бүтін  k үшін 
cd  –  km  =  1  теңдеу  орын  алады.  с  мен  d  өзара  жай  болатының  еске  алып,  бұл  теңдеуді 
келесі түрде өзгертуге болады: 
m(-k) + cd = ЕҮОБ(m,c). 
Демек,  біз  Евклидтың  жалпыланған  алгоритмы  көмегімен  с
-1
  mod  m  (немесе  d 
санды  табу)  есептей  аламыз.  Бұл  кезде  айнымалы  k  мәні  бізге  керек  емес.  Егер  d  саны 
теріс болып табылса, онда оған m қосу керек, өйткені анықтама бойынша  a mod m  саны 
{0,1,...,m-1}жиыннан алынады.  
Мысал  қарастырайық.  m=9,  c=5  болсын.  5
-1
  mod  9  табайық.  Барлық  есептеуді 
қадам  бойынша  жазып  отырып,  Евклидтың  жалпыланған  алгоритмы  бойынша  есептеуді 
жүргізейік.  
 
q 
U 
V 
T 
u
1
  u
2
  u
3
  v
1
  v
2
  v
3
 
t
1
 
t
2
 
t
3
 
9 div 5 = 1  9  1  0  5  0  1  9 mod 5 = 4  1 - 1 0 = 1  0 - 1 1 = -1 
5 div 4 = 1  5  0  1  4  1  -1  5 mod 4 = 1  0 - 1 1 = -1  1 - 1 (-1) = 2 
4 div 1 = 4  4  1  -1  1  -1  2  4 mod 1 = 0  1 - 4 0 = 1  -1 - 4 2 = 7 
 
1  -1  2  0  1  7 
 
 
 
 
Сонымен, аламыз 5
-1
 mod 9 = 2.  Тексереміз:  5 2 mod 9 = 10 mod 9 = 1. 
 
 
 
 
 
 

 
99 
Негізгі терминдер 
 
Евклид  алгоритмы  –  екі  санның  ең  үлкен  ортақ  бөлгішін  іздеп  табуға  мүмкін 
беретін математикалық алгоритм. 
Өзара жай сандар – ортақ бөлгіштері жоқ (бірден басқа) сандар. 
Факторизациялау  есебі  –  көбейткенде  берілген  санды  беретін  екі  не  одан  көп 
натурал сандарды табу. 
Модулі  бойынша  инверсия  –  берілген  санға  модуль  бойынша  көбейткенде 
нәтижесінде бірді беретің натурал сан. 
Көбейткіштерге канондық жіктеу -  барлық көбейткіштер жай болып өсу ретінде 
жазылған көбейткіштерге жіктеу.  
Ферманың  кіші  теоремасы  –  RSA  жүйесі  бойынша  шифрлаудың  негізінде 
жататын танымал теоремасы. 
а мен  b сандардың  ең үлкен ортақ бөлгіші - а-ны да  b-ны да бөлетін ең үлкен  с 
саны:  с = ЕҮОБ(a, b). 
Арифметиканың негізгі  теоремасы - кез келген бірден  үлкен натурал сан не өзі 
жай  болады,  не  жай  бөлгіштердің  көбейтіндісіне  жалғыз  ғана  тәсілмен  жіктелу  мүмкін 
(егер көбейткіштердің жол ретін еске алмайтын болсақ). 
Жай сан - өзінен және бірден басқа бөлгіштері болмайтын натурал сан. 
Құрама сан - өзінен және бірден басқа тағы да бір санға бөлінетің натурал сан. 
Эйлер  функциясы  -  n-нан  аспайтын  және  n-мен  өзара  жай  болатын  натурал 
сандардың саның есептеуге мүмкіндік беретін функция. Белгіленеді  (n). 
 
Сұрақтар 
 
1.  Жай  және  құрама  санның  анықтамасын  беріңіз.  Жай  және  құрама  сандарының 
үш-үштен мысалдарын келтіріңіз. 
2. «Өзара жай сандар» ұғымының анықтамасын беріңіз. Өзара жай сандардың және 
өзара жай болмайтын сандардың мысалдарын келтіріңіз. 
3. Арифметиканың негізгі теоремасын тұжырымдап беріңіз. 
4. Факторизациялау есебі деген не? 
5. Ең үлкен ортақ бөлгіші анықтамасын беріңіз. 
6. Екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін Евклид алгоритмды тұжырымдап 
беріңіз. 
7. Ферманың кіші теоремасын тұжырымдап беріңіз. 
8. Ферма-Эйлер теоремасын тұжырымдап беріңіз (RSA жүйесінің жағдайы үшін). 
9. Жалпыланған (кеңейтілген) Евклид алгоритмын тұжырымдап беріңіз. 
10.  «Модуль  бойынша  алу  операцияны»  орындау  принциптерін  тұжырымдап 
беріңіз. Осы операцияның орындау мысалдарын келтіріп түсіндіріп беріңіз. 
11. Модулі n бойынша инверсия деген не? 
 
Жаттығулар 
 
1.  37, 59, 67, 93, 101, 111, 231 сандар жай сан болама? 
2. Өзара жай сандар болама: 
  16 мен 37 
  16, 37 және 38 
  5, 9, 27 және 54 
  2, 4, 7, 15, 59 
3.  59-дан  аспайтын  және  59-бен  өзара  жай  болатын  натурал  сандардың  саның 
табыңыз.