58
1
cos
/
Енді dr – элементар өсімшені немесе r – радиус-вектордың dt уақыттағы өсімшесi
табылады.
d
d ал радиус-вектордың 0-ден бастап t-ға дейінгі өсімшесі болса, онда ол
интегралмен анықталады.
0
/
1
cos
d .
Интегралдау нəтижесінде:
sin
/
.
мұндағы,
0
0 деп алынған. 2.13-суретте
мен x(t) арасындағы тəуелділік
график түрінде келтірілген. Мұндағы:
мен x(t) - v мен r векторлардың X-өсіне
проекциялары. X өсі бөлшектің қозғалу бағытымен, яғни векторының бағытымен
таңдалып алынады.
1. Бұл жағдай үшін үдеу тең:
d /d
/
.
Осы теңдеуді интегралдау үшін скалярлық түрге көшу керек, яғни v векторының
модуліне:
d /d
/
.
Tеңдеуді интегралдау арқылы (алғашқы шарттар
орындалады) келесі өрнек шығады:
/
/
Оны потенциалдау нəтижесінде қайтадан векторлық
түрге көшеміз:
/
.
Соңғы теңдеуді тағы да интегралдаймыз (алғашқы
шарттар орындалады)
r=
vd
1
e
/
/ .
2.14-суретте – жылдамдық пен s – жолдың уақытқа байланысты тəуелділік графигі
келтірілген. Біздің жағдайымызда
2.7. Модулі бойынша тұрақты F күшінің əсерімен қайсыбір
жазықтықта массасы m болатын бөлшек қозғалып
келеді.
Оның
бағыты
тұрақты
ω
бұрыштық
жылдамдықпен бұрылыс жасайды.
0 уақытында
бөлшектердің жылдамдығы нөлге тең. Осы бөлшектің
жылдамдық модулін -уақытқа тəуелді функция түрінде
табу керек. Сонымен қатар екі біртіндеп тоқтаулардың
арасындағы бірінен соң бірі кезектеп өтетін жолды табу
2.14-сурет
2.15-сурет
59
керек.
Шығару жолы. Осы жазықтықты x жəне y координаттар жүйесімен
байланыстырайық. 2.15-суретте келтірілгендей
0 уақыттағы вектор күшінің
бағытымен x өсінің бағыттары бірдей болып алынады. Сонда динамиканың негізгі
теңдеуінің X пен Y өстеріне жүргізілген проекцияларының түрі төмендегідей болады.
d /d
cos
.
d /d
sin
.
Алғашқы шартты (0)=0 деп алып, осы теңдеулерді уақыт бойынша интегралдап
келесі өрнектерді аламыз:
/
sin
,
/
1
cos
.
Бөлшектің жылдамдық векторының модулі тең:
2| sin
/2 | /
.
∆ уақыттың өтуімен жылдамдығы нөлге айналады. Оны келесі шарттан табуға
болады.
∆ /2
Сондықтан іздеп отырған жолымыз тең:
∆
8 /
.
Бөлшек траекториясының түрі циклоид тəрізді екені суреттен көрініп тұр.
2.8. Горизонталды жолмен тұрақты тангенциалды
үдеумен автомашина жүріп келе
жатыр. Оның қозғалысы шеңбер құрайды жəне оның радиусы – R-ге тең.
Машинаның дөңгелегі мен жолдың беті арасындағы үйкеліс коэффициенті k.
Машинаның алғашқы жылдамдығы нөлге тең болғандағы сырғанаусыз өткен жол−
s
қандай?
Шығару жолы. Жылдамдық өскен сайын машинаның нормалды жəне толық
үдеулері де өсе бастайды. Қажетті толық үдеу үйкеліс күші əсерімен қамтамасыз
етілгенде пайда болған қозғалыс сырғанаусыз өтеді.
Осы күштің ең үлкен максимал шамасы келесі формуламен анықталады:
g.
мұндағы m- машинаның массасы. Сондықтан толық үдеудің максимал мəні
динамиканың негізгі теңдеуіне
сай.
g .
Басқа жағынан
/
.
(2)
60
мұндағы, − машинаның үдеуі максимал болғандағы жылдамдығы.
Осы жылдамдық пен іздеп отырған жолдың арасында келесі байланыс орын алады:
2
.
(3)
-ны (1) мен (2) теңдеулерінен тауып алып, оны (3)-ке қойып келесі өрнекті
шығарамыз:
/2
g/
1 .
Осы теңдеудің шешімі тек
g болғанда ғана шығатынын аңғару қиын емес.
2.9. Интегралдық емес санақ жүйесі. Жердің серігі Жерді экватор бойымен батыстан
шығысқа қарай r-радиус шеңбер орбитасымен айналып келеді. Жерге қатысты санақ
жүйесі арқылы осы серіктің a' үдеуін табу керек. Жердің Күнді айналған кездегі
пайда болған үдеуі ескерілмейді.
Шығару жолы. Шарт бойынша К − инерциялық санақ жүйесі, осы жүйеде Жердің
айналу өсі тыныштықта болсын. Ал К' − инерциялық емес санақ жүйесі. Ол Жермен
байланысты жəне К-жүйесіне қатысты
бұрыштық жылдамдықпен айналады.
Осы К-жүйедегі серіктің a' үдеуін табу
керек. Санақ жүйесінде Жер серігіне
əсер ететін барлық күштерді ескеру
қажет: 2.16-суретте көрсеткендей: F –
ауырлық күші,
кор
Кориолис күші,
цик
инерцияның центрге тартқыш күшін
келтіруге болады. Суреттегі көрініс
Жердің солтүстік полюсі жағынан
берілген. Енді (2.18) теңдеуді пайдалана отырып,
0 тең екенін ескеру керек. К'
жүйеде Жер серігі шеңбер бойымен қозғалып келеді. Сондықтан, (2.18) теңдеудің
траекторияларға жасаған n - нормалдарының проекцияларын келесі түрде жазамыз:
2
.
(1)
мұндағы,
/ , m жəне M - Жер серігі мен Жердің массалары. Енді K' санақ
жүйесінде Жер серігінің жылдамдығын табу керек. Ол үшін 1.24 формуланы
скалярлық түрде келтіреміз:
.
(2)
мұндағы, – К жүйедегі Жер серігінің жылдамдығы. Осы аталған жылдамдықты
Жер серігінің К жүйедегі қозғалыс теңдеуі арқылы есептеуге болады.
/
/ .
(3)
(1) , (2) жəне (3) теңдеулерді біріктіре отырып келесі өрнекті шығарамыз:
2.16-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
