s = + | - у]х2  + у 2 + z 2dt

где  точка  над  буквой  есть  символ  дифференцирования  по  времени:  x = dx/dt, 

у 

= dy/dt,  z = dz/dt.  Если  движение  точки  начинается  в  сторону  выбранного 

положительного  отсчета  дуги,  то  следует  брать  знак  “плюс”,  в  противном 

случае -  знак “минус”.

1  (№10.2,  [3]).  По  данным  уравнениям  движения  точки  найти  уравнение 

ее  траектории  в  координатной  форме  и  указать  на  рисунке  направление 

движения.

1)  х = 3t -  5, 

у — 4 — 2t.

Р е ш е н и е .   Чтобы  найти  уравнение  траектории  движения  точки, 

исключим  из  уравнений  движения  время  t;  из  первого  уравнения  найдем: 

3t = x -  5 ,t = ( x -  5)/3. Подставляя это значение t во второе уравнение, получим: 

у — 4 — 2(х -  5)/3,  2х + Зу -  2 = 0.  Из  тех  же  уравнений  находим,  что  в 

начальный момент времени при to = 0 точка находится в положении М0(-5; 4); в 

момент времени, например, Ч = 3  с -  в положении Mi(4; -2) и т.д.

Следовательно,  траектория  точки -   полупрямая  2х + Зу -  2 = 0,  х > -5, 

у 

< 

4 

с началом в точке  х = -5, у = 4 (рис. 3)

2) х = 2t,  у = 8t2.

Р е ш е н и е .   Чтобы  найти  уравнение  траектории  точки,  исключим  из 

уравнений движения время t; из первого уравнения найдем: t = 0,5х. Подставляя 

это  значение  t  во  второе  уравнение,  получим  у = 2х  .  Из  тех  же  уравнений 

находим, что  в начальный момент времени to = 0 точка находится в положении 

М0(0; 0); в момент времени, например,Ч =  1  с -  в положении Mi(2;  8) и т.д.

Следовательно,  траектория  точки -   правая  ветвь  параболы  у = 2х  с 

начальной точкой х = 0, у = 0 (рис. 4).

3) х = 5sinl0t,  у = 3cosl0t.

Р е ш е н и е .   Чтобы  найти  уравнение  траектории,  исключим  из  этих 

уравнений  время  t.  Для  этого  преобразуем  уравнения  движения:  х/5 = sinlOt, 

у/3 = coslOt.  Возведя  обе  части  этих  уравнений  в  квадрат  и  складывая  их, 

получим уравнение траектории: 

х2/25 

+ 

у2/9 

= 1

.

Из  тех  же  уравнений  находим,  что  в  начальный  момент  времени  to = О 

точка находится в положении М0(0; 3);  в момент времени,  например,  ti = тг/20 -  

в  положении  Mi(5; 0)  и  т.д.  Следовательно,  траектория  точки-  эллипс 

жүктеу 1,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: