Первый тур дистанционного этапа

Второй тур дистанционного этапа 

XIV олимпиады имени Леонарда Эйлера 

1.

 В 9:00 в путь отправился пешеход. Через час вслед ему из того же началь-

ного  пункта  выехал  велосипедист.  В  10:30  он  догнал  пешехода  и  поехал 

дальше,  но  через  некоторое  время  велосипед  сломался.  Закончив  ремонт, 

велосипедист  поехал  вслед  пешеходу  дальше  и  в  13:00  снова  догнал  его. 

Сколько минут занял ремонт? (Скорость пешехода постоянна, и он двигался 

без  остановок,  скорость  велосипедиста  тоже  постоянна,  и  он  двигался  с 

единственным перерывом на ремонт.)

 

 

2.

 Можно ли отметить несколько клеток в таблице 9



9, чтобы в любых двух 

соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых 

двух соседних столбцах — не больше 5 клеток? 

3.

 

ABCD

 

⎯

  выпуклый  четырёхугольник,  где 

AB =

 7, 

BC

 = 4, 

AD =

 

DC

, 



ABD 

= 



DBC

.  Точка 

E

  на  отрезке 

AB 

такова,  что 



DEB

 = 90



.  Найдите 

длину отрезка 

AE. 

4.

 Докажите, что если прямые 

y

 = 

kx

+

m

, 

y

 = 

mx

+

n

 и 

y

 = 

nx

+

k

 на координат-

ной плоскости имеют общую точку, то они совпадают. 

5.

 Даны натуральные числа 

a

 и 

b

 (

a

 > 1), причём 

b

 делится на 

a

2

. Кроме того, 

любой делитель числа 

b

, меньший, чем 

a

, является также делителем числа 

a

. Докажите, что у числа 

a

 не более трех различных простых делителей.