163
Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил своюпоследовательность
человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам.
И действительно, с тех
пор в природе, архитектуре,
изобразительном искусстве, математике, физике,
астрономии,
биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые
коэффициентами Фибоначчи.
Например, число 0.618 представляет собой постоянный коэффициент в так
называемом золотом сечении (рис.1), где любой отрезок делится таким образом, что
соотношение между его меньшей и большей частью равно соотношению между большей
частью и всем отрезком. Таким образом, число 0.618 известно еще как золотой
коэффициент или золотая середина.
Рисунок 1.
Такого типа пропорцию можно встретить абсолютно везде (рис.2).
Рисунок 2. Примеры соотношений Фибоначчи
Золотой коэффициент используется природой для построения ее частей, начиная от
больших и заканчивая малыми.
Современная наука считает, что Вселенная развивается по
так называемой золотой спирали (рис.3), которая строится именно с помощью золотого
коэффициента. Эта спираль в буквальном смысле не имеет конца и начала. Меньшие
витки никогда не сходятся в одну и ту же точку, а большие неограниченно развиваются в
пространстве.
Рисунок 3. Золотая спираль
.
164
Некоторые из соблюдающихся соотношений:
Самое важное заключается в том, что с помощью всех этих, в каком-то роде
мистических, чисел, описываются разнородные процессы во Вселенной.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-
либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть
вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии
и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению
ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины
находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого
сечения
– высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей
в искусстве, науке, технике и природе.
Определение золотого сечения как гармоничной пропорции. В математике
пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок
прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части
– АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части
пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть
золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение –
это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок
так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или
другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b
= b : c или с : b = b : а.
Геометрическое изображение золотой пропорции
Обобщенное золотого сечение.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то
обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном
мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как
арифметическому выражению закона золотого деления.
Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта.
Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр,
программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США
создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает
специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел
Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый
им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но
алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число
есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма
двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую
математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А
может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то
новыми уникальными свойствами?
165
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать
любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого
– единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и
отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS
(n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –
ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел
Фибоначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения
золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается
деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью
совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят,
что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит
белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск,
«Наука и техника», 1984).
Оказывается, например, что хорошо
изученные двойные сплавы
обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в
термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т.п.) только в
том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из
золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезе о том, что золотые S-
сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи
подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение
для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в
самоорганизующихся системах.
Список литературы:
1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М.,1971.
2. А.А.Бухштаб. Теория чисел. М.,1966.
3. И.С.Соменский, Сборник задач по высшей алгебре. М., 1977.
4. А.У.Нурымбетов.,М.К.Кадырбеков. Алгебра и теория чисел. Т., 2001.
5. М.П.Лельчук.,И.И.Полевченко, Практические занятия по алгебре и теории
чисел.М.,1999.
Аннотация
Орналасу қасиеті кӛптеген әр түрлі салалардаға есептерді шешуге қолдануға мүмкіндік
береді. Сонымен қатар ӛмірде кездесетін жағдайларда Фиббоначи сандармен тығыз байланысты.
Аннотация
Особое место в теории чисел занимает числа Фиббаначи. Свойства расположения чисел дает
возможность применение их в различных задачах науки. Наряду с этим, многие жизненные задачи
связано с числами Фиббоначи
Annotation
A special place in the theory of numbers is occupied by the Fibbanachi numbers. The properties of
the arrangement of numbers makes it possible to use them in various problems of science. Along with
this, many vital problems are connected with the Fibonacci numbers.
