§2. Скорость и ускорение точки в прямоугольной системе координат

Проекции  скорости  точки  на  оси  прямоугольной  системы  декартовых

координат равны:

dx

dt

dy

Vx = — = х , 

Vy = 

= у , 

Vz  = —  = z .

dz

dt

(

7

)

Модуль скорости и направляющие косинусы определяются формулами

V 

= 

7 v x 

+ 

v y 

+ 

Vz2 , 

cosai = Vx/V, 

cosPi = Vy/V, 

cosyi = Vz/V. 

(8)

Ускорение  точки 

а

  выражается  производной  от  вектора  скорости  по 

времени или второй производной от радиуса-вектора  г  по времени:

а

  = dV/dt = d2r/d t2  = 

axi + ayj  + azk

.

(

9

)

Проекции ускорения точки на координатные оси равны:

ax=Vx =x,  

ay=V

у = у , 

az=Vz = z. 

(10)

Модуль ускорения и направляющие косинусы вычисляются по формулам: 

а -   а2

х  + а2

у +

 a

2

  ;  COSa

2

 

—  axj a ,

 

00802

“ ^ /^ ,  COSy

2

 

—  azj a .

 

(11)

10 

(№11.2,[3]). 

Длина 

линейки 

эллипсографа 

АВ = 40 см, 

длина 

кривошипа ОС = 20 см,  АС = СВ.  Кривошип равномерно  вращается  вокруг оси 

О  с  угловой  скоростью  ю.  Найти  уравнение  траектории  и  годографа  скорости 

точки М линейки, лежащей на расстоянии AM =  10 см от точки А (рис.  11).

Р е ш е н и е .  

Имеем: 

ОС = АС = СВ = 20 см, 

AM = МС =  10 см;

треугольник  АОС  равнобедренный,  ZAOC = ZOAC = cot.  Как  видно  из  рис.  11 

координаты 

точки  М  равны: 

х = OD + DE =20coscot +  lOcoscot = 30coscot,

у =   lOsincot.  Чтобы  найти  уравнение  траектории  точки  М,  исключим  из  этих 

уравнений  время  t:  х/30 = coscot,  х2/900 = cos2cot,  х2/900 + у2/ 100 =1 -   эллипс  с 

начальной точкой х = 30, у = 0.

Найдем  траектории  вектора  скорости  точки  М:  Vx =x = -30cosina>t, 

Vy = у = lOcocos cot.  Чтобы  получить  уравнение  годографа  скорости  точки  М, 

нужно исключить время из выражений для проекций вектора скорости:

Xj/ЗОсо -  -sincot,  у^Юсо = cos cot,  где Xi = Vx, yi = Vy.

Уравнение годографа скорости точки М:  xf / 900со2 + 

у]

/ЮОсо2 = 1.

11

11 

(№11.4,[3]). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью 

со.  Найти  скорость  середины  М  шатуна  кривошипно-ползунного  механизма  и 

скорость ползуна В в зависимости от времени, если ОА = АВ = 

а

 (рис.  8).

Р е ш е н и е .  

Найдем 

уравнения 

движения 

точки 

М:

Q

 

3

Х м  =   Xi 

+ х2 = acoscot 

COSGOt = 

coscot,

Ум 

= 0,5asincot. 

Определим

скорость точки М:  Ух = dxM

жүктеу 1,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: