173
мұндағы,
жəне –бөлшектердің бір-бірінен алыста болатын кездегі жəне ең
жақын келетін кездегі Ц-жүйесіндегі қосынды кинетикалық энергиялары. (2) жəне
(3) теңдеулерді сол (1) өрнекке əкелеміз, тек
орнына енді
тұрады. Əрі бұл
жағдайда (2 бөлшек басында тыныштықта болған). (4.61) бойынша:
.
кезінде
болады да,
үшін өрнектің (1)-ге ұқсас болатындығы
көрініп тұр.
5.3 Кішігірім шарикті ұзындығы жеңіл жіппен О нүктеге іліп қояды. Содан кейін жіп
вертикальмен бұрыш жасайтындай етіп, шарикті ауытқытып, оған жіп орналасқан
вертикаль жазықтыққа перпендикуляр бағытта
бастапқы жылдамдық береді.
жылдамдықтың қандай мəнінде жіптің вертикальдан ауытқуының максимал бұрышы
90 болады?
Шығару жолы. Қозғалыс кезінде шарикке екі күш əсер етеді – ауырлық күші жəне
жіп тарапынын болатын керілу күші. Нүкте арқылы өтетін вертикаль өсіне
қатысты бұл күштердің моментінің
0 болатындығы анық. Демек, бұл өске
қатысты шариктің импульс моменті
болады, немесе:
sin ·
,
(1)
мұндағы, – шариктің массасы, – жіптің вертикальмен бұрыш жасайтын кездегі
оның жылдамдығы.
Шарик Жердің ауырлық өрісінде тосын күштің − жіптің керілу күшінің əсерінен
қозғалады. Бұл күш əрқашанда шариктің жылдамдық векторына перпендикуляр
болғандықтан жұмыс атқармайды. Осыдан (4.31) сай Жердің ауырлық
өрісіндешариктің механикалық энергиясы сақталады:
/2
/2
g cos ,
(2)
Мұндағы теңдіктің оң жағы жіптің горизонталь қалпына сəйкес келеді. (1) жəне (2) –
ні бірлестіріп келесі өрнекті шешеміз:
2g / cos .
5.4.
вертикаль өстен еркін айнала алатын радиусы
болатын қатты сым сақинада
бірдей екі кішігірім муфта бар (5.26-сурет). Оларды жіппен жалғап, 1-1 қалпында
қояды. Сосын бүкіл жүйеге
бұрыштық жылдамдық беріп, оны өз бетінде
қалдырып, жіпті нүктеде үзіп жібереді. Қондырғының массасы тек муфталарда
ғана шоғырланған деп алып, муфталардың сырғанап түсіп, үйкеліссіз ең төменгі 2-2
қалыпқа келетін кездегі оның бұрыштық жылдамдығын табу керек.
174
Шығару жолы.
Төменгі
қалыпта
муфталардың
айналу өсінен қашықтығы жəне қондырғының бұрыштық
жылдамдық
ω болсын. Сонда энергияның жəне айналу
өсіне қатысты импульс моментінің сақталу заңы шығады:
ω
ω
2g ,
ω
ω ,
мұндағы, муфталардың жоғарғы жəне төменгі қалыптағы
биіктіктерінің айырымы. Сонымен қатар (5.26-сурет)
.
Осы үш теңдеуді біріктіре шешіп, табамыз:
ω
ω
2
1
1
4
ω
.
5.5. Тегіс шыбық горизонталь жазықтықта
ω
бұрыштық
жылдамдықпен
қозғалмайтын
вертикаль
өстен айналады (5.27-сурет), əрі оған
қатысты оның импульс моменті . Шыбықта
айналу өсіне жуық жерде осы өске жіппен
байланған массасы кішігірім муфта бар. Жіпті
үзіп жібергеннен кейін муфта шыбық бойымен
сырғанай бастайды. Муфтаның шыбыққа қатысты
жылдамдықғын оның айналу өсіне дейінгі қашықтығына тəуелді түрде табу
керек.
Шығару жолы. Берілген жүйеде қозғалыс кезінде кинетикалық энергия жəне
айналу өсіне қатысты импульс моменті сақталады. Осыдан:
ω
ω
,
ω
ω,
мұндағы,
(5.27-сурет). Осы теңдеулерден:
1
/ .
5.6. Горизонталь ұшып келе жатқан А оқ жоғарғы ұшы шарнирлі О
нүктесіне бекітілген массасы ұзындығы біртекті вертикаль
шыбыққа тиіп, сонда қалып қояды (5.28–сурет). Оқтың
импульсі жəне ол шыбыққа О нүктесінен қашықтықта
тиеді. Массасын ескермей келесі шарттарды орындай:
1) оқтың шыбық ішіндегіқозғалыс уақытындағы оқ-шыбық
жүйесініңимпульс өсімшесін;
2) бағыты бойынша вектормен бірдей түсетін (оң қозғалыс
бағыты төңірегінен айналады)
меншікті импульс моментін ескере отырып,
шыбықтың алатын бұрыштық жылдамдығын табу керек.
5.26-сурет
5.28-сурет
5.27-сурет
175
Шығару жолы. 1. Оқ-шыбық жүйесі тұйықталмаған: бір-бірін өтемелейтін
күштермен қатар, оқтың қозғалысы кезінде шыбықта О нүктесінде реакция күшінің
горизонталь құраушысы пайда болады. Міне осының əсері жүйенің импульсының
өсімшесін тудырады:
∆
,
мұндағы,
– шыбықтың инерция центрінің онда оқ тұрып қалғаннан кейінгі
жылдамдықығы.
Бұл процестер кезінде барлық сыртқы күштер О нүктесі арқылы өтетіндіктен,
шыбық ішіндегі оқтың қозғалыс уақытына сай жүйенің импульс моменті осы нүкте
арқылы өтетін кез келген өске қатысты тұрақты. Сурет жазықтығына перпендикуляр
өсті алып келесі өрнекті табамыз:
,
мұндағы, – шыбықтың қабылданған өске қатыстыимпульс моменті, ал
шыбықтың оқ тоқтағаннан кейінгі бұрыштық жылдамдығы.
Осы екі теңдеуден
, жəне – О нүктеден шыбықтың инерция центріне
дейінгі қашықтықекендігін ескеріп, төмендегі өрнекті табамыз:
∆
3 /2
1 .
Осыдан,
∆ өсімшенің таңбасы / қатынасына тəуелді болады. Жеке алғанда
/
2/3 кезінде ∆
0, яғни жүйенің импульсі оқтың шыбық ішіндегі қозғалысы
кезінде өзгеріссіз қалады. Бұл О нүктедегі реакция күшінің горизонталь құраушысы
болмайды дегенді білдіреді.
2. Бұл жағдайда да жүйенің О нүктесіне қатысты импульс моменті оқтың
шыбықтағы қозғалысы кезінде де тұрақты болып қалады, сондықтан (5.23) бойынша
.
сол жақта оқтың О нүктесіне қатысты импульс моменті, ал
оң жақта−шыбықтың (оқпен бірге) оқ тоқтаған бойдағы
импульс моменті (5.29-суретте барлық үш вектор
горизонталь жазықтықта орналасқан). Шыбық (оқпен
бірге) бұрыштық жылдамдық алатын кездегі векторды
есептеп шығарайық. Шыбықтың О нүктеден қашықтықта
орналасқан массасы
d кішкене элементін алайық. Оның
О нүктесіне қатысты импульс моменті:
d
, d
·
/
d
мұндағы, – берілген элементтің жылдамдығы. Осы өрнекті барлық элементтер
бойынша интегралдап аламыз:
/3.
Сонымен,
/3.
5.29-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
