95
Сонымен
U функциясының
x, y, z шамалары бойынша теріс таңбамен
алынған дербес туындыларынан
вектордың орттардағы
, ,
проекцияларын табамыз. Осыдан вектордың өзін де табуға болады:
немесе:
(4.16)
Жақшада тұрған шаманы
U скаляр функцияның градиенті деп атайды.
Оны
gradU деп немесе
деп белгілейді. Физикада («
набла») белгісін
көбірек пайдаланады, оны символдық вектор немесе символдық оператор деп
те атайды:
(4.17)
Сондықтан
-ды символдық вектордың
U скалярға көбейтіндісі деп
қарастыруға болады.
Сонымен өрістің күші мен потенциалдық энергияның арасындағы
байланысты координаттардың функциясы деп қарастырып, ықшамды түрде
жазуға болады:
(4.18)
яғни
өріс күші өрістің берілген нүктесіндегі бөлшектің потенциалдық
энергиясының минус таңбамен алынған градиентіне тең. (4.18) өрнек U(r)
функцияны біле отырып,
күш өрісін табуға мүмкіндік береді. Осыған
мысал келтірейік.
Мысал. Қайсыбір өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы төмендегідей болады:
а)
,
, мұндағы тұрақты шама;
ə)
мұндағы, а – тұрақты вектор, r – өріс нүктесінің радиус-векторы.
Əрбір жағдайға сəйкес келетін күш өрісін табайық:
а)
ə) əуелі функцияны
деп жазайық, сонда:
.
Егер
эквипотенциалдық бет түсінігін барлық нүктелерінде U
потенциалдық энергияның мəні бірдей болатын бет түсінігін енгізетін
96
болсақ, онда градиент мəнісі түсінікті бола бастайды.
U шамасының əрбір
мəніне тиісті өзінің
эквипотенциалдық беті сəйкес
болатыны түсінікті.
(4.15) формуладан кез келген бағытқа, берілген
нүктедегі
эквипотенциалдық бетке жанама, F
вектордың проекциясы нөлге тең болатындығы
шығады. Бұл дегеніміз F вектордың берілген нүктедегі
эквипотенциалдық
бетке
нормал
перпендикуляр
болатындығын көрсетеді. Енді, F шамасының өшу
бағытында ds орын ауыстыруды алайық, сонда
0 жəне (4.15) бойынша
0, яғни F вектор U шамасының кему бағытында бағытталған. F вектор
бағыты бойынша
U векторға қарама-қарсы, U градиенті эквипотенциал
беттің нормалы бойынша
U потенциалдық энергияның өсу бағытындағы
вектор деген токтамға келеміз.
Айтылғандарды екі өлшемдік жағдайды қамтитын 4.8-сурет түсіндіре
алады. Онда эквипотенциалдар жиынтығы
1
2
3
4
(
)
U
U
U
U
, потенциалдық
энергияның
U градиенті жəне өрістің А нүктесіне сəйкес күш векторы F
өрнектелген. Осы екі шаманың векторлары
В нүктесінде қандай болар еді?
Қортындылай келе тек
U функциясының градиенті ғана емес, сонымен қатар
координаттардың кез келген скаляр функциясының градиенті жайлы сөз
етуге болады. Градиент түсінігі физиканың барлық салаларында кең
қарастырылады.
Өріс түсінігі
Тəжірибе арқылы гравитациялық жəне электростатикалық өзара
əрекеттесу кезінде бөлшекке қоршаған денелер тарапынан болатын F өзара
əрекеттесу күші бөлшектің массасына немесе зарядына пропорционал
болатыны анықталды. Басқаша айтқанда, F күшті екі шаманың көбейтіндісі
түрінде өрнектеуге болады:
(4.19)
мұндағы, m – бөлшектің массасы, G – қайсыбір вектор, ол бөлшектердің
орнына да, қоршаған денелердің қасиеттеріне де тəуелді.
Өзара əрекеттесу туралы түсінікті өріс тарапынан қарастырғанда оның
физикалық мəнін басқаша түсінуге əкеледі. Атап айтқанда, қарастырылып
отырған бөлшек оны қоршап тұрған денелердің
өрісінде орналасқан G(r)
векторымен сипаталатын болады. Кеңістіктің əрбір нүктесінде осы
денелердің жан-жағында (өріс көзінде) сондай шарттар орындалады, осы
жағдайларда осы нүктеге орналасқан бөлшектер (4.19) күшінің əсерін алады
4.8- сурет
97
жəне G(r) мен сипатталатын өріс бөлшек бар ма, жоқ па оған тəуелсіз өзі
өмір сүре алады (өріс – физикалық шынайы материя). G векторды
өрістің
кернеулігі деп, ал электр өрісінің кернеулігін E деп атайды, q нүктелік
зарядына əсер ететін F күшінің (4.19) формуласымен ұқсас, яғни:
Гравитациялық өріс пен электростатикалық өрістер арасындағы
қатынасты белгілеу үшін
m жəне G параметрлерін q мен E-ге ауыстырып
жіберсе болғаны.
Өрістердің бір ерекше қасиеттеріне тоқталайық, яғни егер өріс бірнеше
өрістерден құралса, онда оның қорытынды өрісі осы өрісті құраушыларының
қосындысынан тұрады. Дəлірек айтсақ кез келген нүктеде қорытынды өрістің
G кернеулігі тең болады:
∑
(4.20)
мұндағы,
– і-ші өрістің кернеулігі осы нүкте үшін. Бұл формула өрістердің
суперпозиция принципін (немесе қосарлану) сипаттайды.
Енді бөлшектің потенциалдық энергиясына көңіл бөлейік. (4.19)
формулаға сай, (4.14) − формуланы келесі
d
d түрде жазуға
болады. Осы екі теңдеудің екі жағын да
ге бөліп,
U m қатынасын φ-
арқылы белгілеп:
d
dφ,
(4.21)
немесе
d
(4.22)
формуланы аламыз.
φ r функциясы r радиус-векторымен сипатталатын нүктедегі өрістің
потенциалы деп аталады.
(4.22) формула кез келген гравитациялық немесе электростатикалық
өрістердің потенциалын табуға көмектеседі. Ол үшін кез келген екі нүктенің
арасындағы ∫ G
dr интегралды есептеп жəне алынған шаманы қайсыбір
функцияның кемуі деп алса болғаны, олай болса,
m – нүктелік массасының
гравитациялық өрістерінің потенциалы жəне
q – нүктелік зарядының
электростатикалық өрісінің потенциалы 4.12-теңдеуге сəйкес келесі
формуламен анықталады:
гр
⁄ ,
кул
(4.23)
Достарыңызбен бөлісу: |
