Жылу сыйымдылықтың Дебай теориясы
Жылусыйымдылықтың кванттық теориясының дамуындағы келесі басқышы П.Дебаймен жасалған.
Дебай теориясының мәнін түсіну үшін кристалл торының атомдарының тербелісін қарастырып, соның нәтижесіне көңіл аударамыз.
Өзара күшті байланысқан атомдардың тербелістерін, бүкіл кристалл бойынша таралатын толқындық векторы және жиілігі әлсіз байланысқан толқындардың жиынтығына келтірдік. Әрбір осындай толқынға, қозғалысында қатты дененің барлық атомдары қатынасатын, жиілікпен тербелетін гормониялық осцилляторды сәйкестендірдік.
1 – сурет. Жылусыйымдылықтың температураға тәуелділігі.
1 – тәжірибелік қисық,
2 – Эйнштейн формуласы бойынша есептелген қисық.
Планк формуласы бойынша, әрбір осындай осциллятордың орташа энергиясы
Гармониялық жуықтауда әрбір осциллятор бір – біріне тіуелсіз тербелетіндіктен, кристалдың толық энергиясы 3rN өзара әсерлеспейтін гармониялық осцилляторлардың энергияларының қосындысына тең:
. (1)
Мұндағы және - тордың акустикалық және оптикалық тербелістерінің энергия мәндері:
(2)
(3)
(2)-ші, (3)-ші формулаларда қосынды, спектрдің S-ші тармағындағы Бриллюэн аумағындағы толқындық вектордың барлық рұқсат етілген мәндері бойынша алынған. Мұндай қосындыны тікелей орындау өте күрделі болып табылады. Мұндай қиындықты алғаш шешкен П.Дебай.
2 – сурет. Толқындық сандар кеңістігіндегі қалыңдығы сфералық қабат
Дебай N атомнан тұратын қатты денені тұтас серпімді орта деп қарастырды. Мұндай денедегі жылу қозғалысы, таралатын серпімді толқынның мүмкін болатын жиіліктегі акустикалық тербеліске келтірілді. Эйнштейннің негізгі идеясын Дебай басшылыққа алып сақтады, Эйнштейн идеясын гармониялық осцилляторды әртүрлі жиіліктермен тербеледі деген жорамалмен толықтырды, ал сонымен бірге олардың энергиясы сол сияқты Планк бойынша квантталған деп санады. Онда, N бірдей атомдардан тұратын кристалдың толық жылу энергиясы (2)-ші формуламен өрнектеледі. (2) - ші формуладағы бойынша қосындыны интегралмен алмастырамыз.
Бриллюэн аумағындағы толқындық вектордың рұқсат етілген мәндерінің саны өте үлкен және N-ге тең, яғни толқындық вектор квазиүздіксіз өзгереді; ендеше, жиілікте квазиүздіксіз. Одан дейін акустикалық тармақта өзгереді.
Онда
, (4)
Мұндағы -k, k+dk интервалындағы қалыпты тербелістерде, ссаны және интегралдау Бриллюэн аумағы бойынша жүргізіледі. (4)-шы формуладағы анықтау үшін k- кеңістікте, радиустары k және k+dk сфералар арасында шектелген, қалыңдығы dk тең қабатты бөліп аламыз(4-сурет).
Сфералық қабаттың көлемі
Осы қабаттың көлемін ұяшықтарға бөлеміз, әрбір ұяшықтың көлемінде k-ның рұқсат етілген мәндері болуы тиіс. k-шы рұқсат етілген мәндері, тығыздықпен k- кеңістікте бірқалыпты таралған ( – кристалдың көлемі).
Осыдан k- кеңістікте k-ның рұқсат етілген бір мәніне көлемі
ұяшық сәйкес келеді.
Көлемі сфералық қабатта, бір акустикалық тармақталғы ұяшықтардың саны
(5)
Дебай моделінде, барлық толқын ұзындықтары үшін дыбыстың жылдамдығы бірдей деп жорамалданады және ол поляризация бағытына тәелді емес, яғни үш акустикалық тармақ үшін дисперсияның сызықты заңы орындалады:
(S=1,2,3) (6)
Мұндағы - дыбыс жылдамдығы (констант). Онда
(7)
және , интервалында қалыпты тербелістердің саны
(8)
(9)
Қатынас қалыпты тербелістердің саны.
функциясын жиіліктердің таралуының спектрлік функциясы деп атайды.
Қатты денеде акустикалық тербелістердің үш түрі болатындықтан – бір қума (дыбыс жылдамдығымен) және екі көлденең тербеліс болатындықтан, таралудың -жылдамдықпен спектрлік функциясы интервалында мынадай өрнекпен анықталады
(10)
Мұндағы мынадай шартпен анықталатын
(11)
дыбыс жылдамдығы. Бұл жылдамдық кристаллографиялық бағыттар және тербелістердің типтері бойынша орташаланған. (11)-ші формуланы пайдаланып, (6)-шы формуланы, Еа үшін мына түрде жазамыз
(12)
Дебай (12) формулада Бриллюэнның бірінші аумағы бойынша интегралды, радиусы сфера бойынша интегралдаумен алмастырған. Бұл сферадағы толқындық вектордың рұхсат етілген мәндері N-ге тең, яғни оның радиусы мынадай өрнекпен анықталады
(13)
Мұндағы =dV - бір рұхсат етілген толқындық векторға келетін k –кеңістіктің көлемі. Онда
(14)
Егер N/V=1023см-3, онда 2*108см-1, яғни дәрежесінің шамасы бойынша Бриллюэн аумағының өлшемімен сәйкес келеді, ал толқын ұзындығының минимум мәні 3*10-8см, жуықпен кристалл торында толқын ұзындығы тең толқын тарай алмайды, немесе (6)-шы формуладағы интеграл алынатын, терделістің дебай жиілігі, бұл мәндерде
7*1013с-1 (15)
Дебай ұсынған жорамалда барлық жиілік үшін спектрлік таралу функциясы мынадай өрнекпен сипатталады:
(16)
қосындысында
.
(16) – ші өрнекте шамасы жиілікке тәуелді емес және тұрақты.
3 - сурет
тәуелділігі.
1 – Дебай жуықтауы; 2 – Эйнштейн жуықтауы; 3 – Тор тербелісінің спектрі.
3 – суретте Дебай және Эйнштейн жуықтауларындағы спектрлік функциялардың жиілікке тәуелділігі келтірілген. Таралу функциясының берілген белгілі мәнінде, кез келген температура үшін (16)ші формула мына түрде жазылады:
(17)
(14)-шы, (15)-шы қатынастарды пайдаланып, қорытып түрлендірулерден кейін, (17)-ші формуланы мына түрде жазуға болады:
(18)
Интегралды шешу үшін, жаңа белгілеулер енгіземіз:
(18а)
Онда,
(19)
Егер,
;
деп белгілесек,
(19а)
Дебай иемпературасы деп аталады;
Онда
;
Ендеше,
(20)
;
А(х)
А(х)
Сонымен,
E=3RTA(x) (20)
– бұл формула Дебайдың интерполяциялық формуласы деп айтылады. Ал,
(20а)
өрнегі Дебай функциясы деп аталады.
(20а) формуласының ерекшелігі энергия, ендеше, және жылусыйымдылықты барлық температурада, оған енетін бір параметр арқылы өрнектеледі. Бұл параметр қатты дененің сипаттамалық температурасы деп аталады немесе Дебай температурасы деп аталады.
Дебай температурасының физикалық мағынасы - немесе тордың тербелісін қоздыруға қабілетті энергияның максимум кванты болып табылады.
(20а) формуласы бойынша мәнін, (16)-шы қатынасты пайдаланып бағалау, 7*1013с-1 үшін 100К екенін көрсетеді. Эйнштейн температурасы сияқты, Дебай температурасы да заттардың қасиеттеріне тәуелді. Көптеген қатты денелер үшін ол 100-4000К –ді құрайды.
Дебай функциясын ашық есептеу қиын, бірақ энергия мен жылусыйымдылық үшін төменгі және жоғарғы температуралар шегінде аналитикалық өрнегін алуға болады.
Анықтама бойынша, қатты дененің жылусыйымдылығы
(21)
Ендеше,
(22)
Дебай теориясы, көлем тұрақты болғанда төменгі температурада жылусыйымдылықтың өзгеретінін көрсетеді.
Қатты денелердің жылусыйымдылығының өрнегін температураның екі шегі үшін қарастырамыз:
а. Жоғары температурада:
; = ;
б. Төменгі температурада:
;
(қосымшаны қараңыз).
(23)
Немесе
(23а)
мұндағы
Төменгі температурада жылусыйымдылықтың кубтық заңмен сипатталады. Бұл заң Дебайдың кубтық заңы деп аталады. Жеткілікті төменгі температурада, яғни ұзын акустикалық толқындар қозғанда, Дебай заңы толық жақсчы орындалады, осындай толқындар ғана үздіксіз серпімді ортада таралады.
Дипломдық жұмыстың қосымшалар бетінде қатты денелердің жылусыйымдылығы мен энергиясы үшін Дебай функциясының ЭЕМ-да есептеулері берілген.
Достарыңызбен бөлісу: |
