Дипломная работа

• Метод конечных элементов в автоматизированном проектировании технических систем

• Дисциплина Моделирование систем и комплексов
• Доцент кафедры ИТБ
• Даненова Гульмира Тулендиевна
• Старший преподаватель кафедры СМиТ
• Ахметжанов Талгат Бураевич

• Специальность 6М070400 Вычислительная техника и программное обеспечение

План лекции:

• 1. Применение метода конечных элементов для решения инженерных задач;
• 2. Дискретизация области решения задачи;
• 3. Аппроксимация искомой функции;
• 4. Получение основной системы разрешающих уравнений.

Цель лекции

• Изучение вариационного подхода метода конечных элементов на примере задачи теплопроводности.

• Комплексные решения для КЭ анализа

• Статический анализ;
• Динамический анализ;
• Нелинейный анализ;
• Анализ теплопередачи;
• Оптимизация;
• Анализ усталости.

• Деформации по оси Х

• Деформации по оси Y

• Напряжения x

• Напряжения y

• Участок горного массива

• Расчет напряженно-деформированного состояния подработанного массива горных пород

• Решение контактной задачи взаимодействия элементов вильчатой проушины

• Эквивалентные напряжения оси

• Контактные напряжения

• НДС конструкции

• Геометрическая модель

• Дискретная модель

• Расчет НДС сварных пластин

• Графическая карта температурного поля во время сварки

• Эквивалентные деформациии остывшей пластины (Мах=5.2%)

• Эквивалентные напряжения остывшей пластины (Мах=280 МПа)

• Этапы решения объемной упругопластической задачи:
• 1. Движение электрода постоянной температуры (линейный источник) вдоль шва
• 2. Остывание пластины до комнатной температуры (свободная конвекция)

• MSC.visualNastran
• Enterprise

• MSC.visualNastran
• Professional

• Professional
• Services

• IT Services

• CAD / PDM
• Solutions

• MSC.Patran

• MSC.NASTRAN

• MSC.Marc

• MSC.Dytran

• MSC.Fatigue

• MSC.Construct

• MSC.Thermal

• MSC.Mentat

• MSC.Superform

• MSC.Acumen

• SG2

• MSC.FVA

• MSC.Linux

• Turnkey
• Solutions

• MSC.MVision

• Virtual
• Insight

• Catia V5

• Enovia

• MSC.N4W

• MSC.visualNastran
• Desktop

• MSC.vN 4D

• MSC.SuperForge

• ANSYS

• Программные комплексы

Идея метода сеток

• Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Постановка задачи

• Определяющее уравнение - уравнение Лапласа

• Требуется найти распределение температуры в брусе.

• - условия Дирихле

• (1)

• - условия Неймана

Суть вариационного подхода МКЭ

• Искомая функция Т(x,y) совпадает с функцией, минимизирующей некоторый функционал , который содержит производные от искомой функции.
• Функционал – это определенный интеграл от неизвестных значений температуры по всей области решения задачи.

• (2)

Двумерные конечные элементы

Дискретизация области решения

Дискретизация

• Разбиение области и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (2) в виде
• где ei – элементный вклад, определяемый равенством

• (3)

• (4)

Аппроксимация искомой функции

• Пробная функция Tei(x,y) выбирается линейной
• Система уравнений (6) имеет единственное решение, т.к. определитель ее коэффициентов не равен нулю

• (6)

• (7)

• j

• i

• m

• (5)

Аппроксимация искомой функции

• Подстановка выражений 1,2 и 3 в уравнение (5) дает следующие представления через базисные функции:
• (9)
• или
• где
• - функции формы ;

Аппроксимация искомой функции

• Решая систему (6), получим следующие выражения для 1,2 и 3 :
• (8)
• где

• j

• i

• m

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Получим производные, входящие в функционал (4).
• Подставим их в выражение для элементного вклада (4).
• (10)

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Условия минимума могут быть записаны в виде.
• (11)

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Определим производную по каждой тепловой температуре.

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Подставим полученные выражения в выражения (11)
• (12)
• где [K]e - матрица жесткости элемента.

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Процедуру объединения в этом случае можно записать как
• или
• (13)
• где [К] - матрица жесткости системы элементов;
• {Т}T= {T1, T2,…, Tn}.

Получение основной системы разрешающих уравнений

• Таким образом, вариационная формулировка МКЭ позволяет получить системное уравнение МКЭ.

Решение задачи МКЭ

• 1) разбить область на конечные элементы;
• 2) перенумеровать вершины таким образом, чтобы матрица жесткости имела ленточную структуру. Ширина ленты определяется наибольшим разрывом между номерами соседних вершин;
• 3) вычислить соответствующие элементные вклады (9).

Выводы

• В качестве исходных данных задачи служат область решения, краевые условия, свойства материала.
• На основе выбранного конечного элемента строится дискретная модель.
• Для каждого конечного элемента рассчитываются матрица жесткости, вектор узловых нагрузок.
• Указанные матрицы и векторы объединяются поэлементно в системную матрицу жесткости и вектор нагрузок. В результате получаем основное уравнение МКЭ.
• Решается система линейных алгебраических уравнений и определяется вектор узловых значений температуры.

Контрольные вопросы

• 1. Этап дискретизации;
• 2. Этап аппроксимации искомой функции;
• 3. Этап алгеброизации.

Список используемой литературы

• 1.Нургужин М.Р., Даненова Г.Т. Инженерные расчеты в ANSYS: сборник примеров - Караганда: Изд-во КарГТУ, 2006. - 319с.
• 2. Норенков И.И. Основы автоматизированного проектирования. Учебник для вузов. - М.: Изд.во МГТУ им.Н.Э. Баумана,  2000.  – 360с.  

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!