§ 17.12  Примеры решения задач

§ 17.12  Примеры решения задач. 

 

Задача 17.1  Какая энергия выделится при образовании 1 г гелия 

4

2

He

 из протонов и нейтронов? 

Решение: 

Ядро атома гелия состоит из двух протонов и двух нейтронов. 

Масса атома гелия 

4.00337 . . .

He

M

а е м

,  масса нейтрона 

1.00897 . . .

n

m

а е м

, 

масса протона 

1.00758 . . .

p

m

а е м

 

При образовании атома гелия дефект массы составляет: 

2

0.02923 . . .

p

n

He

m

m

m

M

а е м

 

Энергия, выделяющаяся при образовании одного атома гелия, 

                                                  

931.44

27.126

. . .

МэВ

E

m

МэВ

а е м

. 

В 1 г гелия содержится атомов:  

23

23

6.02 10

1.504 10

4

A

He

m

N

N

A

 атомов. 

Следовательно, при образовании 1 г гелия выделится энергия 

23

23

10

27.126 1.504 10

40.797 10

65.275 10

E

E N

МэВ

Дж

 

Ответ: 

10

65.275 10

E

Дж

. 

 

Задача 17.2  При  соударении протона с ядром бериллия произошла ядерная реакция 

9

1

6

4

4

1

3

2

Be

H

Li

He

. Найдите энергию этой реакции. 

Решение: 

Энергия ядерной реакции 

                                                            

2

i

k

E

c

M

M

, 

где 

i

M

- сумма масс частиц, вступивших в реакцию, а

k

M - сумма масс образовавшихся 

частиц.  

В нашем случае        

2

Be

H

Li

He

E

c

m

m

m

m

,    

=

 - Z

ядра

атома

электрона

m

m

m

, 

где    масса атома бериллия 

8.00531 . . .

Be

m

а е м

,  масса атома лития 

6.01513 . . .

Li

m

а е м

, 

         масса альфа-частицы 

4.00260 . . .

He

m

а е м

,  масса протона 

1

1

1.00758 . . .

H

а е м

, 

         масса электрона   

0.00055 . . .

e

m

а е м

,  

Z

- зарядовое число ядра,   

2

931.4

. . .

МэВ

с

а е м

.  

Подставив числовые значения величин, получим:  

8.6

E

МэВ

 

Ответ:  

8.6

E

МэВ

 

 

Задача 17.3  Найдите энергию, выделяющуюся  при делении 

=1 

m

кг

 урана 

235

92

U

, если при 

каждом делении ядра урана выделяется 

0

=200 

E

МэВ

 энергии. 

Решение: 

В  1 кг урана содержится ядер                      

=

A

m

N

N

, 

где  

3

=235 10

кг

моль

- молярная масса урана, 

23

1

6.02 10

A

N

моль

- число Авогадро. 

Тогда энергия, выделившаяся  при делении  1 кг урана  

                                   

26

13

5.13 10

8.2 10

o

A

o

m

E

NE

N E

МэВ

Дж

 

Ответ: 

13

8.2 10

E

Дж

. 

389 

 

Задача 17.4  Найдите энергию, выделяющуюся  при реакции термоядерного синтеза гелия из 

ядер дейтронов, если масса получившегося гелия равна 1 кг. 

Решение: 

Энергия ядерной реакции 

                                                            

2

i

k

E

c

M

M

, 

где 

i

M

- сумма масс частиц, вступивших в реакцию, а

k

M - сумма масс образовавшихся 

частиц.  

В нашем случае                                      

2

2

d

He

E

c

m

m

. 

Воспользовавшись уравнением термоядерной реакции, получим: 

                         

2

26

13

(2

)

32, 4 10

54, 72 10

He

d

He

A

He

m

E

m

m

c

N

МэВ

Дж

A

 

Ответ: 

13

54, 72 10

E

Дж

 

 

Задача 17.5 Найти наименьшую энергию  -кванта, достаточную для осуществления реакции 

разложения дейтерия  -лучами  

2

1

1

1

1

0

H

h

H

n . 

Решение: 

Количество теплоты, поглощаемое при реакции  

2

1

1

1

2

16

27

11

(

(

))

9 10 (2, 0141 (1, 00783 1, 0086)) 1, 66 10

0, 035 10

n

H

H

Q

c m

m m

Дж . 

Для осуществления расщепления дейтерия необходимо, чтобы  -квант имел энергию  h

Q . 

В предельном случае, когда  h

Q

-квант расщепит ядро, но не сможет сообщить 

образовавшимся частицам кинетическою энергию.  Следовательно,   

                                                

11

min

0, 035 10

2,175

h

Дж

МэВ. 

Ответ: 

min

2,175

h

МэВ

. 

 

Задача 17.6  Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией 500 мТл и 

движется по окружности радиусом 10 см. Скорость частицы 

6

2, 4 10

м

с

. Найдите для этой 

частицы отношение еѐ заряда к массе. 

Решение: 

В однородном магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, которая равна  

                                                                           

л

F

q B

v

.                                                        (1) 

Она  сообщает частице центростремительное ускорение  

                                                                            

2

n

a

R

v

.                                                                    (2) 

По второму закону Ньютона имеем              

л

n

F

ma

.                                                               (3) 

Подставляя (1) и (2) в (3) получим                

2

q B

m

R

v

v

                                                               (4) 

Из (4) имеем           

q

m

BR

v

, 

следовательно     

6

7

2, 4 10

4,8 10

0, 3

0,1

м

q

Кл

с

m

Тл

м

кг

. 

Ответ:  

7

4,8 10

q

Кл

m

кг

. 

 

390 

 

Задача 17.7  При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их аннигиляция, в 

результате чего возникают два  - кванта, а энергия частиц переходит в энергию  -квантов. 

Определите энергию каждого из возникших  -квантов, принимая, что кинетическая энергия 

нейтрона и антинейтрона до их столкновения пренебрежимо мала. 

 Решение: 

Согласно условию задачи  уравнение реакции имеет вид:  

1

1

0

0

n

n

2

. 

Запишем закон сохранения энергии для релятивистского случая: 

0

0

2

n

n

n

n

T

T

E

E

E , 

где  

n

T

- кинетическая энергия нейтрона до столкновения, 

n

T

- кинетическая энергия 

антинейтрона до столкновения , 

0n

E

- энергия покоя нейтрона,  

0n

E

- энергия покоя 

антинейтрона,   E - энергия  - кванта. 

С учѐтом того, что кинетическая энергия нейтрона и антинейтрона до их столкновения 

пренебрежимо мала, то есть 

0

n

n

T

T

 и, учитывая, что 

2

0

0

n

n

n

E

E

m c

, имеем: 

                                             

2

2

2

n

m c

E

, следовательно,    

2

n

E

m c

. 

Подставив табличные значения, получим 

                                    

2

1, 00866 . . . 931, 5

942

. . .

n

МэВ

E

m c

а е м

МэВ

а е м

    

Ответ:  

E

942 МэВ

. 

 

 

Задача 17.8   Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом излучении 

составляет 1 ГэВ, определите расстояние, проходимое мюонами за время их жизни, если 

собственное время жизни мюона  2.2 мкс, а энергия покоя  100 МэВ. 

Решение: 

Увеличение времени жизни  релятивистских мюонов в космическом излучении найдѐм 

согласно релятивистской механики по формуле      

0

2

2

t

t

1

c

v

.                                                   (1) 

А энергию релятивистских мюонов выразим по формуле  

0

2

2

E

E

1

c

v

.                                     (2) 

 Из сравнения уравнений (1) и (2) имеем, что  

0

0

E

t

t

E

. 

Из (2) можно определить скорость  релятивистских мюонов в космическом излучении   

                                                                       

2

2

0

c 1

E

E

v

. 

Тогда путь, пройденный ими в атмосфере Земли равен   

2

0

2

0

0

E

l

t

c 1

t

E

E

E

v

.                     (3) 

 Подставив в (3) числовые значения получим      

l

19.8 км

. 

 

Ответ:  

l

19.8 км

. 

    

 

 

 

 

391 

 

Задачи для самостоятельной работы 

 

Задача 17.1  

Электрон и позитрон, имевшие  одинаковые кинетические энергии, равные 0,24 МэВ, 

при  соударении  превратились  в  два  одинаковых  фотона.  Определите  энергию    фотона  и 

соответствующую ему длину волны  .

 Ответ: 

0.75МэВ ; 

1.65пм . 

Задача  17.2    Нейтральный  -мезон  ( °),  распадаясь,  превращается  в  два  одинаковых                  

-фотона.  Определите  энергию    фотона.  Кинетической  энергией  и  импульсом  мезона 

пренебречь. Ответ: 

67.5МэВ . 

Задача  17.3

   

Радиоактивный  изотоп  2211Na  излучает  γ-кванты  энергией  1,28  МэВ. 

Определите  энергию W, излучаемую за время 5 мин изотопом натрия массой 5 г. Считать, 

что при каждом акте распада излучается один γ-фотон с указанной энергией.  

Ответ:

 

W

70.6 кДж

. 

Задача 17.4  Определите интенсивность I гамма-излучения на расстоянии 5 см от точечного 

изотропного  радиоактивного  источника,  имеющего  активность  148  ГБк.    Считать,  что  при 

каждом  акте  распада  излучается  в  среднем  1,8    γ-фотонов  с  энергией  0,51  МэВ  каждый. 

Ответ:  

2

Т

В

I

0.6

м

. 

Задача 17.5  Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0.5 Тл и 

движется  по  окружности  радиусом  10  см.  Скорость  частицы  2400  км/с.  Найдите  для  этой 

частицы отношение еѐ заряда к массе.  Ответ:  

7

q

Кл

4.8 10

m

кг

. 

Задача  17.6  Позитрон  и  электрон  соединяются,  образуя  два  фотона.  Найдите  энергию 

каждого  из  фотонов,  считая,  что  начальная  энергия  частиц  ничтожно  мала.  Какова  длина 

волны этих фотонов?  Ответ:

E

0.51МэВ

;

П

2.4 м

. 

Задача 17.7  Интенсивность узкого пучка гамма-излучения после прохождения через слой 

свинца толщиной 4 см уменьшилась в 8 раз. Определите энергию гамма-фотонов и толщину 

слоя половинного ослабления.   Ответ: 

1

E

2МэВ

; 

2

E

6.2МэВ

; 

1

2

х

1.33см

. 

Задача 17.8 Вычислите толщину слоя половинного ослабления параллельного пучка гамма-

излучения для воды, если линейный коэффициент ослабления равен 0.047 см

-1

.   

Ответ: 

1

2

х

14.7см . 

Задача  17.9  Свободный  нейтрон  радиоактивен.  Выбрасывая  электрон  и  антинейтрино,  он 

превращается  в  протон.  Определите  суммарную  кинетическую  энергию  всех  частиц, 

возникающих в процессе распада. Принять, что кинетическая энергия нейтрона равна нулю и 

что масса покоя антинейтрино  пренебрежимо мала.   Ответ: 

E

0.78 МэВ

. 

Задача  17.10  Определите  число  слоѐв  половинного  ослабления,  уменьшающих 

интенсивность узкого пучка гамма-излучения в 100 раз. Ответ:  N 6.6 слоѐв. 

 

 

 

392 

 

ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 

Ускорение свободного падения на Земле 

g = 10 м/c

2

 

Гравитационная постоянная 

G = 6,7·10

-11

 Н·м

2

/кг

2

 

Плотность: 

дерево 

ρ = 400 кг/м

3

 

воды 

ρ = 1000 кг/м

3

 

Масса Земли 

М = 6·10

24

 кг 

Универсальная газовая постоянная 

R = 8,31 Дж/(моль·К) 

Постоянная Больцмана 

k = 1,38·10

-23

 Дж/К 

Число Авогадро 

N

A

 = 6·10

23

 1/моль 

Молярная масса: 

азота 

28·10

-3

 кг/моль 

аргона 

40·10

-3

 кг/моль 

водорода 

2·10

-3

 кг/моль 

воды 

18·10

-3

 кг/моль 

гелия 

4·10

-3

 кг/моль 

кислорода 

32·10

-3

 кг/моль 

неона 

20·10

-3

 кг/моль 

Температура кипения воды при нормальном давлении 

100°С 

Температура плавления льда при нормальном давлении 

0°С 

Удельная теплоемкость: 

воды 

4200 Дж/(кг·°С) 

льда 

2100 Дж/(кг·°С) 

Удельная теплота плавления льда 

335 кДж/кг 

Удельная теплота парообразования воды 

2256 кДж/кг 

Скорость света в вакууме 

с = 3·10

8

 м/с 

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона 

k = 9·10

9

 Н·м

2

/Кл

2

 

Постоянная Планка 

h = 6,6·10

-34

 Дж·с 

Заряд электрона 

е = -1,6·10

-19

 Кл 

Масса частиц: 

электрона 

9,1·10

-31

 кг ≈ 5,5·10

-4

 а.е.м. 

протона 

1,673·10

-27

 кг ≈ 1,007 а.е.м. 

нейтрона 

1,675·10

-27

 кг ≈ 1,008 а.е.м. 

Энергия покоя: 

электрона 

0,5 МэВ 

нейтрона 

939,6 МэВ 

протона 

938,3 МэВ 

ядра бора  

9327,1 МэВ 

ядра дейтерия  

1876,1 МэВ 

ядра трития  

2808,9 МэВ 

ядра бериллия  

8394,9 МэВ 

ядра лития  

6535,4 МэВ 

ядра гелия  

3728,4 МэВ 

ядра гелия  

2808,4 МэВ 

1 атомная единица массы эквивалентна 

931,5 МэВ 

1 эВ 

1,6·10

-19

 Дж