N) и для , где и все R

вале Понятие определителя Вронского для системы функций . Теорема о необходимом условии линейной зависи- мости системы функций .

24. ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффи-циентами. Теорема о линейной комбинации решений. Теорема об эквивалент-ности трех утверждений о линейной зависимости решений.

25. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) ЛООДУ -го порядка. Теорема о существовании ФСР у ЛООДУ -го порядка с неп-рерывными на интервале коэффициентами. Теорема о структуре обще- го решения ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэф- фициентами.

26. Теорема о максимальном числе линейно независимых решений ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффициентами. Как построить ЛООДУ -го порядка, если известна его ФСР ? Теорема о ра-венстве двух ЛООДУ -го порядка, имеющих общую ФСР на интервале неп-рерывности коэффициентов.

27. Теорема Лиувилля-Остроградского и ее применение для нахождения общего решения ЛООДУ второго порядка, если известно одно нетривиальное частное решение этого уравнения.

28. Теорема о линейной однородной замене искомой функции в ЛООДУ -го порядка, где - нетривиальное частное решение этого уравнения. Понижение порядка ЛООДУ, если известно одно или нес-колько нетривиальных частных решений этого уравнения.

29. ЛНОДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффи-циентами и правой частью. Теорема о структуре общего решения. Принцип суперпозиции.

30. Теорема о решении задачи Коши для ЛНОДУ -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения ЛНОДУ -го порядка.

2. Понятие операторного многочлена. Основные операции и свойства. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Действие операторного мно- гочлена на простейшие функции: , , ,

3. Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффици- ентами в случае простых корней характеристического уравнения.

4. Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффици- ентами в случае наличия кратных корней у характеристического уравнения.

5. Оператор, обратный к операторному многочлену. Из какого класса функций в какой класс функций переводит обратный оператор данную функ- цию ? Будет ли обратный оператор однозначным ? Определение основных операций обратных операторов. Свойство коммутативности произведения прямого и обратного операторов и свойство коммутативности произведения обратных операторов.

6. Свойство линейности обратных операторов. Разложение обратного оператора на сумму простейших. Действие оператора (записать в интег-ральной форме Дирихле) на произвольную функцию. Действие обратного оператора на простейшие функции:

7. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом и запись этого решения в интеграль- ной форме Дирихле. Алгоритм отыскания частного решения.

8. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть есть по- лином

9. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть является квазиполиномом , где , а коэффициенты полинома - комплексные числа.

10. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть имеет вид: , где числа и коэффициен- ты полиномов и - действительные.

11. Приведение ЛООДУ n -го порядка с переменными коэффициентами к ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами заменой независи-мой переменной. Применение к нахождению общего решения уравнения Чебышева в интервале

12. Уравнение Эйлера. Нахождение общего решения в интервалах и

13. Уравнение Чебышева. Нахождение общего решения в интервалах и

14. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений: общего вида, канонические, нормальные. Порядок системы. Сведение канонической системы к нормальной. Запись нормальной системы в векторной и симметрической формах.

15. Определение решения нормальной системы. Фазовое и расширенное фазовое пространство. Определение интегральной кривой и фазовой траектории нормальной системы. Какая связь между интегральной кривой и фазовой траекторией ?

16. Задача Коши для нормальной системы. Точки единственности и неединственности решения задачи Коши. Частные и особые решения системы. Теорема Пикара для нормальной системы (формулировка).

17. Определение общего решения нормальной системы. Понятие интеграла, первого интеграла. Свойства интеграла нормальной системы.

18. Функционально независимые интегралы нормальной системы. Опре- делитель Якоби. Необходимое и достаточное условие независимости n пер- вых интегралов нормальной системы n-го порядка. Понятие общего интегра- ла нормальной системы.

19. Теорема о максимальном числе функционально независимых первых интегралов нормальной системы n-го порядка.

20. Понижение порядка нормальной системы с помощью первых интегралов. Приведение нормальной системы к одному уравнению. Всегда ли это возможно ? Метод интегрируемых комбинаций при нахождении общего интеграла нормальной системы.

21. Линейные системы дифференциальных уравнений. Запись в векторной форме. Задача Коши. Теорема Пикара (формулировка). Выяснить возможность существования особых решений.

22. Линейные однородные системы с переменными коэффициентами. Линейно зависимые и независимые системы решений. Доказать, что если система постоянных векторов линейно зависима, то и соответствующая им система решений линейной однородной системы линейно зависима на интервале непрерывности коэффициентов.

23. Фундаментальная система решений линейной однородной системы с переменными коэффициентами. Теорема о существовании ФСР.

24. Определитель Вронского для n произвольных решений линейной однородной системы n-го порядка с переменными коэффициентами. Связь линейной зависимости и независимости системы решений с определителем Вронского.

25. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения.

26. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения линейной неоднородной системы n-го порядка с непрерывными на интервале коэффициентами и свободными членами

27. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Операторный метод нахождения общего решения.

28. Теорема Якоби. Необходимое и достаточное условие существования ФСР у линейной однородной системы дифференциальных уравнений.