Учебно-методическое пособие для студентов естественных специальностей Павлодар

Вопрос оценки точности измерений достаточно сложен, в данном пособии мы приведем минимальный минимум необходимых понятий, при необходимости ведения расчетов достоверности опытов, необходимо обратиться к специальной литературе или использовать программы статистических расчетов. Для ряда равноточных измерений х₁, х₂ ...х_n определим его среднеарифметическое значение , которое равно сумме всех измерений, поделенной на число измерений - n:

где - среднее отклонение или средняя ошибка, Σ – сумма, n – число измерений.

То, что Вы прочитаете дальше, вызовет у многих будущих экологов раздраженное недоумение, наш совет обратить внимание на порядок арифметических действий и следовать им. Более того, Вы можете загнать данные операции в электронные таблицы и получать необходимый результат расчетов, достаточный для большинства простых опытов.

Итак, точность результатов измерений чаще выражают не по среднему отклонению, а с помощью стандартного отклонения s - квадратного корня из второго момента распределения относительно среднего значения. Такое определение данной величины основано на анализе кривой распределения ошибок и выходит за пределы нашего анализа результатов экспериментов. Показано, что при случайном распределении (отклонений) – стандартное отклонение показывает границы среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26 % вероятности нахождения результата любого измерения. Стандартное отклонение вычисляется по формуле:

s =		,

в которой s - стандартное отклонение, х₁, х₂ ...х_n – отдельные измерения, - среднее измерений, n - число измерений.

Основное отличие заключается в том, что в знаменателе не число измерений - n, а число степеней свободы – n-1. Значение s обычно поясняют следующим образом. Если сделано достаточно много измерений, то 68,26% измерений характеризуются отклонением от среднего значения не превышающим ±1 стандартного отклонения. 95,46% измерений характеризуются отклонениями не превышающими ±2s. На графике нормального распределения – рисунок О1 показаны эти интервалы.

Квадрат стандартного отклонения – s² – называют дисперсией распределения. Она является основной мерой отклонения и еще одним способом выражения точности измерений.

Приведем образец вычисления стандартного отклонения на примере измерений высоты растений. Для этого выпишем в таблицу О1 измеряемые значения и их квадраты, и произведем необходимые вычисления.

Среднее значение - = 155,4 : 6 = 25,9

Квадрат сумм значений – (Σ х)² = 155,4² = 24149,16

s. =		=		= 0,92.

Это стандартное отклонение характеризует точность метода, разброс результатов. Результат измерений часто записывают, указывая среднее арифметическое ± стандартное отклонение:

sm =		,

где n - число измерений. s_m называют стандартной ошибкой. Ее величина дает пределы ± s_m, в которых заключено до 68 % вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины. Исходя из этого, в приведенном примере результат измерений следует записать как 25,9 ± 0,9/√6 = 25,9±0,376, или, после округления - 25,9±0,4. Говорят, что этот результат включает истинное значение измеряемой величины с 68% точностью. Обычно принято использовать 2 стандартные ошибки (25,9±0,8) для определения границ приемлемости данных (за этими границами остается менее 5% вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины.). поэтому, если в серии измерений получен результат отличающийся от среднего на 3s, его отбрасывают как маловероятный. Существуют специальные критерии для выявления малоправдоподобных данных, однако они выходят за рамки нашего пособия.

Вначале выбирается необходимый в опыте доверительный уровень (надежность значения), затем на пересечении этого столбца и строки, соответствующей степени свободы (число измерений – 1) находят значение t-критерия, которое используют как поправочный коэффициент и величина доверительного интервала определяется: