Математикалық ұғымдардың теориялық негіздері Математикалық ұғымдар туралы түсінік

жүктеу 157,16 Kb.

Дата	24.12.2022
өлшемі	157,16 Kb.
	#40776

Математикалық ұғымдар

Математикалық ұғымдардың теориялық негіздері
Математикалық ұғымдар туралы түсінік
Педагогика ғылыми ұғымдарды олардың таным үрдісіндегі гносеологиялық және психологиялық маңызына сүйене отырып, білім мазмұнының басты құрылымдық бірлігі ретінде анықтайды. Ұғым шындық дүниесін біржақты ғана бейнелемейді, объектілердің жалпы маңызын ашып көрсетеді, заттың елеулі қасиеттерін анықтаумен қатар, жалпы мен жалқының, нақты мен абстрактінің бірлігін, белгілі бір ғылым саласының даму нәтижесін, оның көп уақыт тырнақталып жиналған қорытындысын түйіндейді.
Ұғым қарастыратын объектінің, құбылыстың соған ғана тән ерекше қасиетін сипаттайды.
Ұғым - зерттелінетін объектінің жалпы, сонымен бірге маңызды белгілері, негізгі ой түйіні болатын барлық айрықша сипаттары туралы түсінік, мәліметтердің тұтастай жиынтығы туралы пайымдар.
Ұғым - өте күрделі логикалық және гносеологиялық категория. Ол біріншіден, жоғарғы материяның жемісі; екіншіден, ол шындық дүниесін бейнелейді; үшіншіден,жалпылау құралы; төртіншіден, ұғымның қалыптасуы сөзбен, жазумен және белгілеулермен тығыз байланысты болады. Сонымен ұғым - ойлаудың жоғарғы түрі, шындық дүниесін сипаттайтын «қару» болып табылады.
Оқыту үрдісінде математикалық ұғымдардың пайда болуы мен құрылымы, олардың материалдық дүниенің заттарымен, құбылыстарымен байланысын ашу — мұғалімнің бірден-бір міндеті. Мұғалім бұл күрделі методологиялық мәселені шешу нәтижесінде оқушылардың ғылыми дүние танымын қалыптастырады. Математика ақиқат (шындық), дүниенің белгілі бір жағы болып табылатын мөлшерлік қатынастар және кеңістіктік формалар, абстрактілі объектілер мен олар туралы ұғымдарды зерттейтін ғылым екендігін түсінуге мүмкіндік береді.
Қазіргі ғылым мен мәдениеттің өркендеген кезінде, әсіресе математика ғылымының дамуы барысында оқушыларды математика ұғымдарын оқумен бірге өзінің ойын жеткізе білуге, оқыған математикалық ұғымдарды дұрыс тани біліп, қолдана алуға баулудың маңызды айрықша екендігі белгілі. Сол себепті оқушыларды математикалық ұғымдарды біліп қана қоймай, оның қолдану ерекшеліктерін тани алуға, оларды практикалық жұмыстарында қолдана алуға үйрету қажеттігі келіп туады.
Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бар заттардың елеулі белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ математикалық ұғымдар заттар мен кұбылыстардың нақтылы мазмұнын елемей, олардың барлығына ортақ мөлшерлік қатынастар мен формаларды ғана бейнелейді. Академик Ә. Нысанбаевтың сөзімен айтқанда «математика заттардың өзін емес, сол заттардың бейнесі болатын белгілерін және абстрактілі құрылымы мен функцияларын зерттейді. Математика абстрактілі объектілермен тікелей қатынаста болады. Бірақ материалдық объекті мен математикалық объектіні шатастырмау қажет. Математикалық объекті материалдық объектінің дәл өзі емес, оның күрделі абстракция нәтижесінде пайда болатын көшірмесі, бейнесі, яғни абстрактілі объект (нүкте, түзу, сан, жиын, топ, функция, оператор, кұрылым т. б.). Айталық, бөлмедегі орындықтардың санын есептейтін болсақ, біз олардың түсіне, сапасына көңіл аудармаймыз, санына ғана көңіл аударамыз. Қанша адамға орындық керек, қаншасы бар, қаншасы жоқ, жетпейтіні қанша? - соны білуге ұмтыламыз. Басқа заттарды санағанда да олардың физикалық қасиетіне назар салмастан тек олардың санын білуге тырысамыз. Сондай-ақ қандай да бір ыдыстың сыйымдылығын анықтау қажет болса, ол ыдыстың қандай материалдан жасалғанына мән бермей, оның пішінін ғана ескереміз. Екі қаланың ара қашықтығын есептегенде қалаларды нүкте, керулі тұрған жіпті түзу сызық ретінде қарастырамыз. Жіптің жуандығы немесе оның қандай материалдан ширатылғандығы ескерілмей қалады. Осылайша абстракциялау нәтижесінде математикалық ұғымдар пайда болады».[1]
Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы, кітап, қой, жылқы), онда ол абстрактілі ұғым болғаны. Сонда бұл ұғым абстракциялаудың қарапайым түрі – бірдейге сайып абстракциялау(немесе бірдейге саю) нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің жәрдемімен алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Олардың ішіндегі ең бастысы – сан ұғымы. Мысалы, бала үш элементтен тұратын , әр түрлі заттарға (үш ойыншық, үш алма, үш саусақ) бақылау жасай отырып, өзі бұрын естіп жүрген «үш» сөзі мен заттардың саны арасындағы сәйкестік бар екендігін ұғынады. Сонда үш элементтен тұратын әр түрлі барлық жиындарға тән, олардың мөлшерін білдіретін «үш» саны туралы ұғым пайда болады.
Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның тағы бір түрі – идеализация абстракциясы. Өлшемі жоқ нүкте, т.б. алғашқы геометриялық ұғымдар жаққа тартылған жіп немесе сым темір, дәптер бетіндегі сызық тағы басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда идеалды «сызық» ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, «сызық» сөзі заттарды белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектеліп қоймай, идеалды бейнені жасаумен де байланысты болады. Бізді қоршаған дүниеде үш қой, үш ағаш т.б. ұғымдар бар, бірақ онда математикалық сызық ұғымы жоқ. «Сызық» ұғымы заттардың ортақ қасиеттерін жалпылаумен бірге, ол ортақ қасиеттерді идеалдап тұр.
Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар куб, тікбұрышты параллелепипед, шар т.б. пайда болады.
Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен математика үшін нақтылы да болып табылады. Енді математикалық ұғымдарды олардың жалпы сипаттағы белгілері бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет абстракциялаймыз (абстракциядан абстракция). Мысалы, барлық төртбұрышты фигураларды қарастыра отырып, олардың қандай да бір белгілері бойынша параллелограмм, тіктөртбұрыш, квадрат ұғымдарына көшеді. Бұл тағы да бірдейге саю абстракциясы болып табылады. Бірақ бұл жерде материалдық дүниенің заттары емес, қалыптасқан абстрактілі математикалық ұғымдар біріктіріледі. Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі олардың шындық дүние заттарын тікелей емес, жанама түрде бейнелеуінде.
Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды. Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесінде пайда болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең шамалылық ұғымы болады. Қазіргі математиканың маңызды ұғымдары болатын топ және өріс, векторлық кеңістік т.б. көп сатылы абстракциялау нәтижесі. Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек. Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.
Сондықтан, математикалық ұғым – мәнді белгілері көрсетілген пән, құбылыс туралы логикалық өрнектелген ой. Оқытылатын ғылымның ұғымдарын игеру оқытудың негізін құрайды. Математикалық ұғым – біздің ойлауымызда шындықтың белгілі бір түрлері мен қатынастарының көрінісі болады. Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді. Егер олар болмысты шын бейнелейтін болса, онда ол үнемі дұрыс болады.
Ұғымның негізгі мінездемелері ретінде:
а) ұғымның мазмұны;
ә) ұғымның көлемі;
б)ұғымның басқа ұғымдармен қатысы және байланысы қарастырылады.
Ұғымның мазмұны деп ұғымдар класына жататын барлық объектілерге тиісті елеулі белгілердің жиынтығын айтады. Ұғымның көлемі — берілген ұғымдар класына жататын барлық объектілер жиынтығы. Мысалы, үшбұрыш ұғымының мазмұны «бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қос-қостан үш кесінді», яғни үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы бар болса, оның көлемі мүмкін болатын тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр қабырғалы үшбұрыштар бола алады.
Сол сияқты «функция» ұғымының мазмұны — аргументтің әрбір мәніне белгілі бір ереже немесе заң бойынша функцияның мәніне келуі болса, оның көлеміне сызыктық функция,квадраттық функция, көрсеткіштік, логарифмдік функция т.б. жатады.
Ұғымның көлемін дұрыс елестету үшін оны «логикалық дөңгелек» арқылы кескіндеу тиімді. Мұндағы үлкен дөңгелек берілген ұғымды көрсетсе, оның ішіндегі кіші дөңгелектер берілген ұғымға жататындарын білдіреді. Мысалы, 1-суретте үлкен дөңгелек жай бөлшек ұғымы (М) болса, оның ішіндегі кіші дөңгелектер жай бөлшек ұғымына жататын дұрыс (N), бұрыс (K) бөлшектер болады. Егер ұғымның көлемі көптеген ұғымдарды қамтитын болса, онда берілген ұғымның көлемі кең, ал ұғымдар аз болса, ұғымның көлемі тар делінеді. Егер ұғымның сәйкес класына енетін объектілердің ортақ, елеулі қасиеттері көп болатын болса, ұғымның мазмұны бай, ал ондай ортақ белгілер аз болса, ұғымның мазмұны кедей деп аталынады.

М

1 – сурет 2 – сурет

Ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны кедейлене береді және керісінше ұғымның көлемі неғұрлым тар болған сайын мазмұны баий түседі. Мысалы, «төртбұрыш» ұғымының белгілеріне тағы да бір «екі қабырғасы параллель» болсын дегенді қосатын болсақ, онда ол «трапеция» ұғымын береді. Егер оған тағы «басқа екі қабырғасы да параллель» болсын деген белгі қосатын болсақ, онда ол «параллелограмм» ұғымы болып шығады. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең, диагональдары бір нүктеде қиылысып қақ бөлінеді т.б. белгілеріне «барлық қабырғалары тең» деген белгіні қосатын болсақ, онда ол ромб болады. Сонымен, ұғымның көлемі мен мазмұны бір-біріне кері қатынаста болады екен, ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны соғұрлым кедейлене береді, көлемі тарылған сайын, оның мазмұны баий түседі және керісінше. Егер қандай да бір ұғымның көлемінен белгілі бір ерекшеліктері бойынша басқа бір ұғымның көлемі бөлініп алынатын болса, онда алғашқы ұғымның өзі тегі, ал бөлініп алынған ұғым алғашқыға қатысты оның түрі деп аталынады. Тектік ұғым мен түрлік ұғымның арақатысы 2-суретте кескінделген. Мысалы, «үшбұрыш» ұғымдар класынан үшбұрыштың екі қабырғасы тең болатынын бөліп алатын болса, онда «тең бүйірлі үшбұрыш» ұғымы жалпы «үшбұрыш» ұғымының түрі, ал «тең бүйірлі үшбұрыш» үшін «үшбұрыш» тектік ұғым болады. Егер тең бүйірлі үшбұрыштардың ішінен бір бұрышы тік болатынын тағы да бөліп алатын болсақ, ондай жағдайда «тең бүйірлі үшбұрыш» тектік, ал «тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш» - түрлік ұғым болып табылады.
Тектік ұғымды түрлік ұғымдардан бөліп алуға мүмкіндік туғызатын белгі ұғымның түрлік айырмашылығы делінеді. Жоғарыда келтірілген мысалдардағы үшбұрыштар класынан теңбүйірлі үшбұрыш ұғымын бөліп алатын «екі қабырғасы тең» белгісі түрлік айырмашылық немесе түрлік ерекшелік болады. Ал теңбүйірлі үшбұрыштан, теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыш ұғымын бөліп тұратын «бір бұрышы тік» белгісі түрлік ерекшелік болады. Тектік ұғымнан түрлік ұғымға өту ұғымды шектеу (ұғымның көлемін кеңейту) деп аталады. Егер ұғымдар бір-бірімен тектік және түрлік қатынаста болса, олар өзара бағынышты делінеді. Түрлік ұғымдар тектік ұғымға бағынышты болады. Мысалы, «үшбұрыштар» ұғымына «теңбүйірлі», «тең қабырғалы», «әр түрлі қабырғалы үшбұрыштар» немесе «сүйір бұрышты үшбұрыш», «доғал бұрышты үшбұрыш», «тікбұрышты үшбұрыш» ұғымдары бағынышты.
Мектепте мүмкіндігінше математикалық ұғымдардың тарихына көңіл бөлу керек. Мысалы, функция ұғымына тоқталайық. Функция – математикалық және жалпы ғылыми ұғымдардың негізгі бөлігі болып табылады. Шын әлемді танып білуде функция маңызды рөлге ие болды және қазіргі уақытта да ие. Функционалдық тәуелділік идеясы ежелден-ақ басталған. Оның құрылымы ең алғаш математикалық анықталған шама аралас қатынастарда, сандармен іс-әрекеттің алғаш ережелерінде және белгілі бір фигуралардың ауданын, көлемін табуға арналған формулаларында көрінеді. Осылай, вавилон (4-5 мың жыл бұрын) ғалымдары, дұрыс білмей отырып, шеңбер ауданы оның радиусынан басталған функция деп анықтаған. Оны анықтаудың дөрекі формуласы болса да ( ), ол кезде жаңалық үлкен мәнге ие болды. Функцияны кесте құрудың мысалдарына вавилондықтардың, ежелгі гректердің, үндістердің астрономиялық кестелері, ал функцияның сөзбен берілуіне диаметріндегі шеңбер және шаршы аудандарының қатынасының тұрақтылығы туралы теоремасын немесе кононикалық қималардың антикалық анықтамаларын (осы қисықтар геометриялық кейпінде қарастырылды) мысал етіп қарастыра аламыз. Тек 17 ғасырдан бастап, математика ғылымына айнымалылардың енгізілуімен функция ұғымы түгелімен өзгеріп, көп қолданыла бастайды. 17 ғасырда функция ұғымының пайда болуына жолды француз ғалымдары Франсуа Виет және Рене Декарт ашты, олар кейін жалпы әлем мойындаған біріңғай математикалық белгілеуді құрастырды. Біріңғай белгілеу ұсынылды: белгісіздерді – латын алфавитінің соңғы әріптерімен - x, y, z; белгілілерді алғашқы әріптермен - a, b, c және т.с.с. Әрбір әріп арқылы тек нақты мәліметтерді ғана емес, басқа да мәліметтерді түсінуге болатын еді. Осылай, математика ғылымына өзгерту идеясы келді. Нәтижесінде, жалпы формулалар құрастыруға мүмкіндік туды. Сонымен қатар, Декарт пен Ферма (1601-1665) геометриялық еңбектерінде айнымалы шама және тік бұрышты координаталар жүйесі туралы анық түсінік береді. 1637 жылғы «Геометрия» еңбегінде Декарт функция ұғымына түсінік береді, нүкте ординатасының өзгерісін абцисса өзгеруіне тәуелділігін зерттеді. Бірақ, ол тек теңдеулер арқылы көрсетуге болатын ғана және көбінесе алгебралық қисықтарды қарастырды. Кейін функция ұғымы анықтала бастады. 1671 жылы Исаак Ньютон функцияны айнымалы шама деп есептеді, ол уақыт өткен сайын өзгереді деп ойлаған.

жүктеу 157,16 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: