Объектами планирования могут быть различные системы: деятельность
отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона,
наконец, государства.
Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:
•
имеются некоторые плановые показатели:
х, у
и другие;
•
имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и другие, за счет которых эти плановые показатели
могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены; имеется
определенная стратегическая цель, зависящая от значений х, у и других плановых
показателей, на которую следует ориентировать планирование.
Необходимо определить значение плановых показателей с учетом ограниченности
ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным
планом.
Рассмотрим пример, дающий представление об одном из подходов к решению
задачи оптимального планирования.
Пусть сельскохозяйственное предприятие занимается возделыванием только двух
культур – зерновых и картофеля – и располагает следующими ресурсами: пашня – 5000
га, труд – 300 тыс. чел.-ч, возможный объем тракторных работ – 28 000 условных га.
Цель производства – получение максимального объема валовой продукции (в
стоимостном выражении).
Найдите оптимальное сочетание посевных площадей культур.
Решение.
Этап I. Для составления математической модели воспользуемся нормативами
затрат и выхода продукции для данного предприятия.
Таблица 4 – Нормативы затрат и выхода продукции предприятия
Культуры
Затраты на 1 га посева
Стоимость
валовой
продукции с 1 га, р.
труда, чел.-ч
тракторных работ, усл. га
Зерновые
Картофель
30
150
4
12
400
1000
Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой продукции. Этот
максимум должен достигаться в условиях использования ограниченных ресурсов пашни,
труда и механизированных работ.
Задача является многовариантной, так как имеется множество допустимых вариантов
сочетания посевных площадей двух культур, но не все они равнозначны с точки зрения
требования оптимальности.
Допустим, что принято решение всю площадь засеять картофелем, который
обеспечивает наибольший выход валовой продукции с 1 га. Но для возделывания
картофеля на площади 5000 та потребуется 150·5000 = 750 000 чел.-ч., а предприятие
такими ресурсами не располагает. Ясно, что такое решение не является приемлемым. Если
же засеять всю площадь зерновыми, объем валовой продукции не окажется наибольшим,
да и значительная часть трудовых ресурсов не будет использована.
Для поиска оптимального решения задачи обозначим через х
1
– га площадь,
отводимую под зерновые, а через х
2
га – площадь, отводимую под картофель. Тогда
стоимость зерновых составит 400 х
1
р., а стоимость картофеля – 1000 х
2
р. Отсюда
стоимость всей валовой продукции составит (400 х
1
+ 1000 х
2
) р. Обозначим это
выражение через у и назовем его целевой функцией:
у = 400 х
1
+ 1000 х
2
Необходимо найти максимум этой целевой функции при соблюдении следующих
условий:
а) общая площадь зерновых и картофеля не должна превышать 5000 га, т. е. х
1
+ х
2
≤5000;
б) общие затраты труда не должны превосходить 300 тыс. человеко-часов, т. е. 30 х
1
+ 150
х
2
≤ 300 000;
в) общий объем механизированных работ не должен превосходить 28 000 усл. га, т. е. 4 х
1
+ 12 х
2
≤28 000;
г) площади, отводимые под зерновые и картофель, могут принимать только
неотрицательные значения: х
1
≥0 и х
2
≥0.
Таким образом, условия задачи выражаются следующей системой неравенств:
.
0
,
0
,
28000
12
4
,
30000
150
30
,
5000
2
1
1
1
2
1
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
Требуется найти такие значения х
1
и х
2
, при которых целевая функция у = 400 х
1
+ 1000 х
2
принимает наибольшее значение.
х
1
≥0 и х
2
≥0xi^O и х2^0.
Этап II. Решим задачу графически.
Построим прямую х
1
+ х
2
=5000. Координаты всех точек треугольника LOK
удовлетворяют неравенству х
1
+ х
2
≤5000.
Построим прямую 30 х
1
+ 150 х
2
=300 000. Координаты всех точек треугольника АОС
удовлетворяют неравенству 30 х
1
+ 150 х
2
≤ 300 000.
Построим прямую 4 х
1
+ 12 х
2
=28 000. Координаты всех точек треугольника BOD
удовлетворяют неравенству 4 х
1
+ 12 х
2
≤28 000.
Неравенствам х
1
≥0 и х
2
≥0 удовлетворяют все точки I четверти координатной плоскости
х
1
0х
2
.
Рисунок 12 – Графическое решение задачи оптимального планирования производства
сельхозпродукции
Любая точка многоугольника АЕМКО удовлетворяет системе неравенств. Для
нахождения наибольшего значения целевой функции найдем ее значения в вершинах
многоугольника АЕМКО.
Таким образом, наибольшее значение целевой функции достигается в вершине М,
что соответствует варианту плана, по которому под зерновые отводится 4000 га, а под
картофель – 1000 га.
Данную задачу можно решить, используя средство «Поиск решения» которая
реализована в MS Ехsel (см. лабораторная работа № 6)
Достарыңызбен бөлісу: 
