Диплом жұмыс Тақырыбы: Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешу. Орындаған: Нысанова Эльмира

жүктеу 2,18 Mb.

бет	18/26
Дата	24.05.2023
өлшемі	2,18 Mb.
	#42757
түрі	Диплом

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 ... 26

Дип.-Бүтін-сандар-жиынында-теңдеулерді-шешу

Жалғыздылық әдісі

1.
теңдеуін натурал сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: Мұндағы натурал сан, Коши теңсіздігін қолдансақ келесі теңсіздіктерді аламыз:
(1)
(2)
...............................
( )
Шыққан теңсіздіктер , , мәндерінде теңдікке айналады. Мүшелерін жеке-жеке көбейтсек, мына теңсіздікті аламыз:
.
Демек, , , екені келіп шығады. Сондықтан берілген теңдеудің жалғыз шешімі бар: .

2. Кез-келген , мәндері үшін

теңдеуінің бүтін сандар жиынында төрттен артық шешімі болмайтынын дәлелдеу керек. Қандай да мәндері үшін әртүрлі төрт шешімі болатынын анықтау керек.
Шешуі: болғандықтан,

теңдеуі

теңдеулер жүйесіне пара-пар, мұндағы , теңдігін қанағаттандырады. Мұндай жүйенің 1-ден артық шешімі болуы мүмкін емес, себсбі: белгісіздердің мәндері бұл жүйеден бірмәнді анықталады:

Әртүрлі бүтін жұбы төртеу-ақ: (1,2); (-1,-2); (2,1); (-2,-1). Сондықтан әртүрлі сандар жұбына белгісіз әртүрлі жұптары сәйкес келеді. Демек, біздің ізделінді теңдеуіміздің төрттен артық шешімі болалмайды, сонымен қатар шешімдер саны төртеу болады, сонда тек сонда ғана, түріндегі әрбір сан бүтін болса және . Ол үшін мына айырым:

бүтін болуы қажет, сонымен қатар 2 . Егер , онда саны бүтін болады, сонда тек сонда ғана, саны тақ болса. Теңдеудің 4 шешімі болады, егер де келесі шарттар орындалса:
немесе және , .
З. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: Егер жұп болса, және
(mod 16),
егер де тақ болса, онда

16 санына бөлінеді, сондай-ақ
(mod 16).
Теңдеудің сол жағын 16-ға бөлгендегі қалдық тізбегінің тақ сандарына тең, сондай-ақ 14-тен аспайды. Басқаша қарастырғанда да
1599=1600-1=15 (mod 16),
демек, теңдеудің оң және сол жағындағы теңдік белгісіздердің ешқандай бүтін мәнінде мүмкін емес.
4. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: теңдеудің шешімі болады. Теңдеудің тағы басқа шешімі бар деп ұйғарайық. Сонда теңдеудің оң жағы 4-ке бөлінеді. Қарсы жағдайда, және тақ сандар, одан
(mod 4), (mod 4), (mod 4)
немесе жұп үшін
(mod 4)
теңдігі, ал тақ болғанда
(mod 4)
теңдігі шығады, сондай-ақ мүмкін емес. Теңдеудің сол жағы 4-ке бөлінеді, сонда тек сонда ғана, егер сандарының әрқайсысы жұп болса (немесе сол жағын 4-ке бөлгендегі қалдық тізбегіндегі тақ сандар өлшеміне тең), сондықтан , , , сонымен қатар
.
Соңғы теңдеудің сол жағы 4-ке бөлінеді, осыдан аналогиялық пайымдау арқылы , , және

теңдеуін аламыз. Осылай жалғастыра берсек, бүтін сандар тізбегін аламыз:
, , ,
мұндағы . Бірақ нөлден басқа ешқандай бүтін сан екінің кез-келген дәрежесіне бөліне алмайды, сондықтан сандарының әрқайсысы нөлге тең. Демек, теңдеудің тек қана жалғыз шешімі бар.

Кез-келген өзара жай сандары үшін және кез-келген

натурал саны үшін

теңдеуінің бүтін оң сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеу керек.
Шешуі: Қалдықтар туралы теоремаға сәйкес,
(mod ), (mod )
шартын қанағаттандыратын бүтін саны бар болады. Сондықтан кейбір мәндері үшін болады. Сондай-ақ , онда
және
Ақыры,
,
теңсіздігінен
,
сондай-ақ екенін көреміз. Осылай сандар жұбы берілген теңдеудің шешімін береді.

Егер саны тақ болса

теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімі болатынын дәлелдеңдер, сонда тек сонда ғана, егер үшін болса.
Шешуі: Егер , болса

теңдігі орындалады. Сондай-ақ теңдеудің шешімдері болады. Ал енді , сандары теңдеуді қанағаттандырсын, мұндағы , -тақ сандар. Егер болса, онда

саны болғанда ғана тақ болады, олай болу мүмкін емес. Сондықтан және тақ сандарының қосындысы 4 санына бөлінеді, демек, олардың әрқайсысын 4-ке бөлгенде әртүрлі қалдық береді. Егер түріндегі барлық жай сандар сандарының бірдей дәрежелі жай көбейткіштерге жіктелуіне кірсе, онда (mod 4) орындалар еді, бұл дұрыс емес. Осыдан келіп
, ,
шартын қанағаттандыратын жай саны бар болады, мұндағы сандары санына бөлінбейді. Енді болсын, сонда және

саны санына бөлінеді де, мына түрге келеді:
.
Дәлелдеу осымен аяқталды.

жүктеу 2,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 ... 26